(EPCAr-2005) Com base na igualdade \frac{5 x-3}{2}-\frac{4}{5}+\frac{2 x}{3}=\frac{19 x-8}{6}-\frac{1}{2},
afirmar que
a) tem apenas uma solução e esta solução é um número par.
b) tem apenas uma solução e esta solução é um número impar.
c) tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{5x - 3}{2} \;-\;\frac{4}{5}\;+\;\frac{2x}{3} \;=\; \frac{19x - 8}{6}\;-\;\frac{1}{2}
que é uma equação linear em x envolvendo frações. Para resolver, vamos reunir termos em x de um lado e constantes do outro, eliminando denominadores pelo mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Identificamos os denominadores 2,5,3,6,2. O mínimo múltiplo comum é 30. Multiplicamos toda a equação por 30 para eliminar as frações:
30\!\times\!\frac{5x-3}{2} \;-\;30\!\times\!\frac{4}{5} \;+\;30\!\times\!\frac{2x}{3} \;=\; 30\!\times\!\frac{19x-8}{6} \;-\;30\!\times\!\frac{1}{2}.

Passo 3

Calculando cada termo:
30\cdot\frac{5x-3}{2}=15(5x-3)=75x-45, \quad 30\cdot\frac{4}{5}=24, \quad 30\cdot\frac{2x}{3}=20x,
30\cdot\frac{19x-8}{6}=5(19x-8)=95x-40, \quad 30\cdot\frac{1}{2}=15.
Logo a equação vira
(75x-45)\;-\;24\;+\;20x \;=\; (95x-40)\;-\;15.

Passo 4

Somando termos semelhantes em cada lado:
75x + 20x = 95x, \quad -45 - 24 = -69,
95x - 69 \;=\; 95x - 40 - 15 \;=\; 95x - 55.
Obtemos
95x - 69 = 95x - 55.

Passo 5

Subtraindo 95x de ambos os lados cancela o termo em x e fica
-69 = -55,
que é uma contradição (não é verdadeira). Portanto a equação não admite nenhum valor de x que a satisfaça.

Resposta

A equação não tem solução (conjunto solução vazio), logo nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) é correta.

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