(Colégio Naval-88/89) Sobre os lados \overline{A B} e \overline{A C} de um triângulo A B C tomam-se os pontos D e E, respectivamente, de modo que os triângulos ABC e ADE sejam semelhantes.
Considere as 4 afirmações abaixo:
(I) \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{AE}}}{\overline{\mathrm{AC}}}
(II) \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{D}} \mathrm{e} \hat{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{C}}
(III) \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{DE}}}{\overline{\mathrm{BC}}}
(IV) Se a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 16, então a razão de semelhança é 4 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: num triângulo \triangle ABC tomam-se D em AB e E em AC de modo que
\triangle ADE \sim \triangle ABC.
Vamos usar as propriedades de semelhança de triângulos: igualdade de ângulos correspondentes, proporcionalidade de lados e relação entre razões de áreas e razões de semelhança.

Passo 2

Como \triangle ADE\sim\triangle ABC com correspondência de vértices
A\to A,\quad D\to B,\quad E\to C,
os ângulos correspondentes são iguais. Em particular,
\hat D = \hat B e \hat E = \hat C.
Isto mostra que a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 3

Da mesma correspondência de vértices decorre a proporcionalidade entre comprimentos de lados correspondentes:
\frac{AD}{AB} \;=\;\frac{AE}{AC} \;=\;\frac{DE}{BC}.
Dessa igualdade tiramos que as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Passo 4

Na semelhança, a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança. Se
\frac{\text{área}(\triangle ABC)}{\text{área}(\triangle ADE)}=16,áá
então
\left(\frac{AB}{AD}\right)^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad \frac{AB}{AD} = \sqrt{16} = 4.
Logo a razão de semelhança é 4, e (IV) também é verdadeira.

Resposta

As quatro afirmações são verdadeiras: (I), (II), (III) e (IV).

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