(Colégio Naval-96) Sobre o número \frac{1837}{8192} podemos afirmar que é:
(A) uma dízima periódica simples;
(B) uma dízima periódica composta;
(C) um decimal exato com 12 casas decimais;
(D) um decimal exato com 13 casas decimais;

Passo 1

O enunciado pede para analisar o número \tfrac{1837}{8192} e decidir se ele é
(A) uma dízima periódica simples;
(B) uma dízima periódica composta;
(C) um decimal exato com 12 casas decimais;
(D) um decimal exato com 13 casas decimais.
O conteúdo é representação decimal de frações e critérios para terminação (decimal exato) ou repetição (dízima).

Passo 2

Uma fração \tfrac{p}{q}, já irredutível, tem decimal finito (termina) se, e somente se, o denominador q admite fatores primos apenas 2 e/ou 5. Nesse caso, o número de casas decimais necessárias é o maior expoente de 2 ou 5 em q.

Passo 3

Fatorando o denominador temos
8192 = 2^{13}.
O numerador 1837 é ímpar (logo não divide 2) e não contém fator 5, de modo que a fração já está em forma irredutível com q=2^{13}.

Passo 4

O expoente de 2 em q é 13 e o de 5 é 0. Portanto, o decimal correspondente a \tfrac{1837}{8192} termina e precisa exatamente de 13 casas decimais.

Resposta

(D)

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