(Colégio Naval-2000) Se 2 x-3 y-z=0 e x +3 y-14 z=0, com z \neq 0, o valor da expressão \frac{x^{2}+3 x y}{y^{2}+z^{2}} é:
(A) 7
(B) 2
(C) 0
(D) -\frac{20}{17}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema linear em x,y dado por
2x - 3y - z = 0,
x + 3y - 14z = 0,
com z\neq 0, e queremos calcular a expressão
\frac{x^{2} + 3xy}{y^{2} + z^{2}}.
O conteúdo aqui é resolver sistema linear em função de z e depois substituir na expressão.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
2x - 3y = z \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{z + 3y}{2}.
Substituímos esse x na segunda equação x + 3y = 14z:
\frac{z + 3y}{2} + 3y = 14z.

Passo 3

Resolvendo
\frac{z + 3y}{2} + 3y = 14z \quad\Longrightarrow\quad z + 3y + 6y = 28z \quad\Longrightarrow\quad 9y = 27z \quad\Longrightarrow\quad y = 3z.
Então
x = \frac{z + 3(3z)}{2} = \frac{10z}{2} = 5z.

Passo 4

Com x=5z e y=3z, calculamos
\frac{x^{2} + 3xy}{y^{2} + z^{2}} = \frac{(5z)^{2} + 3\cdot5z\cdot3z}{(3z)^{2} + z^{2}} = \frac{25z^{2} + 45z^{2}}{9z^{2} + z^{2}} = \frac{70z^{2}}{10z^{2}} =7.

Resposta

A alternativa correta é 7.

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