(Olimpíada de Campina Grande-2001) A expressão \left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)\left(\frac{y^{2}+1}{y}\right)+\left(\frac{x^{2}-1}{y}\right)\left(\frac{y^{2}-1}{x}\right), x y \approx 0 é equivalente a:
a) 1
b.) 2 x y
c) 2 x^{2} y^{2}+2
d) \frac{2 x}{y}+\frac{2 y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
E \;=\;\Bigl(\tfrac{x^{2}+1}{x}\Bigr)\Bigl(\tfrac{y^{2}+1}{y}\Bigr)\;+\;\Bigl(\tfrac{x^{2}-1}{y}\Bigr)\Bigl(\tfrac{y^{2}-1}{x}\Bigr),
com a condição x y \neq 0. Precisamos simplificar E usando álgebra elementar: expandir produtos, somar termos e agrupar em um único quociente.

Passo 2

Escrevemos cada fator em forma de soma:
\frac{x^{2}+1}{x} = x + \frac{1}{x}, \qquad \frac{y^{2}+1}{y} = y + \frac{1}{y}.
Logo, o primeiro produto é
\Bigl(x + \tfrac{1}{x}\Bigr)\,\Bigl(y + \tfrac{1}{y}\Bigr) = x y \;+\;\frac{x}{y}\;+\;\frac{y}{x}\;+\;\frac{1}{x y}.

Passo 3

De modo semelhante,
\frac{x^{2}-1}{y} = \frac{x^{2}}{y} - \frac{1}{y}, \qquad \frac{y^{2}-1}{x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{1}{x},
e ao multiplicar obtemos
\Bigl(\tfrac{x^{2}}{y}-\tfrac{1}{y}\Bigr)\Bigl(\tfrac{y^{2}}{x}-\tfrac{1}{x}\Bigr) = x y \;-\;\frac{x}{y}\;-\;\frac{y}{x}\;+\;\frac{1}{x y}.

Passo 4

Somando os dois resultados (Passo 2+ Passo 3) cancelam-se os termos \pm \tfrac{x}{y} e \pm \tfrac{y}{x}, ficando
E = \bigl(x y +\tfrac{x}{y}+\tfrac{y}{x}+\tfrac{1}{xy}\bigr) +\bigl(x y -\tfrac{x}{y}-\tfrac{y}{x}+\tfrac{1}{xy}\bigr) = 2\,x y \;+\;2\,\frac{1}{x y}.

Passo 5

Colocando em forma única, podemos escrever
E = 2\,x y \;+\;2\,(x y)^{-1} = \frac{2\,x^{2}y^{2} + 2}{x y}.

Resposta

E = 2\,x y \;+\; \frac{2}{x y}.

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