(CM Brasilia-2008) Calcule a soma dos termos da maior fração irredutivel, para que o produto de seus termos seja 54.

Passo 1

O enunciado pede a maior fração irredutível cuja multiplicação do numerador pelo denominador seja 54. Vamos listar todos os pares de inteiros positivos (a,b) tais que a\cdot b=54 e, em seguida, escolher entre eles aquele que for irredutível (ou seja, \gcd(a,b)=1) e com maior valor numérico.

Passo 2

Os fatores de 54 fornecem estes pares ordenados:
(a,b)\in\{(1,54),\,(2,27),\,(3,18),\,(6,9),\,(9,6),\,(18,3),\,(27,2),\,(54,1)\}.

Passo 3

Verificamos a irreducibilidade por \gcd(a,b)=1:
\gcd(1,54)=1,
\gcd(2,27)=1,
\gcd(3,18)=3,
\gcd(6,9)=3,
\gcd(9,6)=3,
\gcd(18,3)=3,
\gcd(27,2)=1,
\gcd(54,1)=1.
Logo, as frações irredutíveis são
\frac{1}{54},\quad \frac{2}{27},\quad \frac{27}{2},\quad \frac{54}{1}.

Passo 4

Comparamos os valores:
\tfrac{1}{54}\approx0{,}018,
\tfrac{2}{27}\approx0{,}074,
\tfrac{27}{2}=13{,}5,
\tfrac{54}{1}=54.
A maior delas é \dfrac{54}{1}.

Passo 5

A soma do numerador com o denominador dessa fração é
54 + 1 = 55.

Resposta

55

Exercícios de Livros Relacionados