(Colégio Naval-84)
\sqrt{3+2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}-\sqrt{3-2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}} é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\displaystyle \sqrt{3+2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}\;-\;\sqrt{3-2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}.
O conteúdo envolve simplificação de raízes cúbicas e reconhecimento de quadrados perfeitos para extrair raízes quadradas.

Passo 2

Observe que
(\sqrt{2})^3 \;=\;2\sqrt{2},
logo
\sqrt[3]{2\sqrt{2}} \;=\;\sqrt{2}.

Passo 3

Substituindo na expressão original, chamando-a de E, temos
E \;=\;\sqrt{3+2\sqrt{2}}\;-\;\sqrt{3-2\sqrt{2}}.

Passo 4

Repare que
3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2 \quad\text{e}\quad 3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2.

Passo 5

Isso permite extrair as raízes:
\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1,
\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1.

Passo 6

Portanto
E = (\sqrt{2}+1)\;-\;(\sqrt{2}-1) = 2.

Resposta

(B) 2

Exercícios de Livros Relacionados