(ESPM-2003) Um polinômio P é tal que P(x)+x \cdot P(x-2)=x^{2}+1 para qualquer x real. 0 valor de \mathrm{P}(4) é:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 10
e) 12

Passo 1

O enunciado pede um polinômio P tal que, para todo x real,
P(x) + x\,P(x-2) = x^{2} + 1.
Este é um problema de equação funcional para polinômios. Como o lado direito é de grau 2, ao somar P(x) com xP(x-2) não podemos gerar grau maior que 2. Isso indica que \deg P\le1.

Passo 2

Vamos então supor que
P(x)=a\,x+b
para constantes a e b.

Passo 3

Calculamos cada termo:
P(x)=a\,x+b, \quad P(x-2)=a(x-2)+b
e portanto
P(x)+x\,P(x-2) = a\,x + b + x\bigl(a(x-2)+b\bigr) = a\,x + b + a\,x^{2} -2a\,x + b\,x.
Agrupando em potências de x:
P(x)+xP(x-2) = a\,x^{2} + \bigl(-2a + a + b\bigr)x + b = a\,x^{2} +(-a + b)\,x + b.

Passo 4

Igualando ao polinômio x^{2}+1, obtemos o sistema de coeficientes:
a = 1,\quad -a + b = 0,\quad b = 1.
Daí a=1 e b=1, isto é,
P(x)=x+1.

Passo 5

Por fim,
P(4)=4+1=5.

Resposta

b) 5

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