(Colégio Naval-81/82) Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é:
a) 5 \sqrt{3}
b) 6 \sqrt{3}
c) 10 \sqrt{3}
d) 15 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo de altura H=30 cm e traça duas linhas paralelas à base (logo perpendiculares à altura) de modo que a área seja dividida em três partes iguais. Para resolver, usamos semelhança de triângulos: cada corte gera um triângulo menor semelhante ao original, com razão de semelhança proporcional à razão das alturas.

Passo 2

Seja A a área do triângulo original e h a altura de um triângulo menor até a primeira paralela. Por semelhança, a área desse triângulo menor é
A_1=\frac{h^2}{H^2}\,A.
Como queremos A_1=\tfrac{1}{3}A, basta ter
\frac{h^2}{H^2}=\frac{1}{3}.

Passo 3

Resolvendo para as duas divisões:
h_1 = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}, \qquad h_2 = H\sqrt{\frac{2}{3}} = 30\sqrt{\tfrac{2}{3}} = 10\sqrt{6}.
Os três segmentos da altura são
s_1 = h_1 = 10\sqrt{3}, \quad s_2 = h_2 - h_1 = 10(\sqrt{6}-\sqrt{3}), \quad s_3 = H - h_2 = 30 - 10\sqrt{6}.

Passo 4

Aproximando \sqrt{3}\approx1,732 e \sqrt{6}\approx2,449, obtemos
s_1\approx17,32,\quad s_2\approx7,17,\quad s_3\approx5,51.
Portanto, o maior segmento é s_1.

Resposta

10\sqrt{3}

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