(Colégio Naval-89/90) Num triângulo ABC traça-se a ceviana interna AD , que o decompõe em dois triângulos semelhantes e não congruentes ABD e ACD . Conclui-se que tais condições:
a) só são satisfeitas por triângulos acutângulos
b) só são satisfeitas por triângulos retângulos
c) só são satisfeitas por triângulos obtusângulos
d) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos acutângulos quanto por triângulos retângulos
e) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos retângulos quanto por triângulos obtusângulos

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC e uma ceviana interna AD até o lado BC. Ela o decompõe em dois triângulos ABD e ADC que são semelhantes entre si, mas não congruentes. O que queremos é caracterizar o tipo de triângulo ABC que admite essa ceviana. Para isso vamos:
  1. Expressar todos os ângulos de ABD e ADC em função dos ângulos A,B,C de ABC e do parâmetro x=\angle BAD.
  2. Impor a condição de similaridade (igualdade de multiconjuntos de ângulos).
  3. Verificar quais soluções aparecem e descartar as que geram congruência.

Passo 2

Rotulemos
\displaystyle \angle BAD = x.
No triângulo ABC vale \displaystyle A+B+C=180^\circ.
Então os ângulos em ABD são
\displaystyle \angle BAD = x,\quad \angle ABD = B,\quad \angle ADB = 180^\circ - x - B,
e em ADC são
\displaystyle \angle CAD = A - x,\quad \angle ACD = C,\quad \angle ADC = 180^\circ - (A - x) - C = x + B.

Passo 3

Para que ABD e ADC sejam semelhantes, os multiconjuntos
\{\,x,\;B,\;180^\circ-x-B\}
e
\{\,A - x,\;C,\;x + B\}
devem coincidir.

Passo 4

Igualando os multiconjuntos, obtemos duas famílias de soluções principais:
  1. x = \tfrac{A}{2} (ceviana é bissetriz)
  2. x + B = 180^\circ - x - B, ou seja 2x + 2B = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 90^\circ - B.
No caso x=\tfrac A2 a ceviana é bissetriz em um triângulo isósceles ( B=C), o que faz com que ABD\cong ADC. Isso contraria a não-congruência exigida.

Passo 5

Sobram apenas
x = 90^\circ - B.
Então em ABD
\angle ADB = 180^\circ - x - B = 180^\circ - (90^\circ - B) - B = 90^\circ,
ou seja AD\perp BC, e além disso
\angle BAD + \angle CAD = (90^\circ - B) + \bigl(A - (90^\circ - B)\bigr) = A = 90^\circ.
Logo ABC é retângulo em A e AD é a altura ao hipotenusa, dando a famosa decomposição em dois triângulos semelhantes não congruentes.

Resposta

b) só são satisfeitas por triângulos retângulos.

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