(Colégio Naval-89/90) Num triângulo ABC traça-se a ceviana interna AD , que o decompõe em dois triângulos semelhantes e não congruentes ABD e ACD . Conclui-se que tais condições:
a) só são satisfeitas por triângulos acutângulos
b) só são satisfeitas por triângulos retângulos
c) só são satisfeitas por triângulos obtusângulos
d) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos acutângulos quanto por triângulos retângulos
e) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos retângulos quanto por triângulos obtusângulos
a) só são satisfeitas por triângulos acutângulos
b) só são satisfeitas por triângulos retângulos
c) só são satisfeitas por triângulos obtusângulos
d) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos acutângulos quanto por triângulos retângulos
e) podem ser satisfeitas, tanto por triângulos retângulos quanto por triângulos obtusângulos
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo
e uma ceviana interna
até o lado
. Ela o decompõe em dois triângulos
e
que são semelhantes entre si, mas não congruentes. O que queremos é caracterizar o tipo de triângulo
que admite essa ceviana. Para isso vamos:
- Expressar todos os ângulos de
e em função dos ângulos de e do parâmetro . - Impor a condição de similaridade (igualdade de multiconjuntos de ângulos).
- Verificar quais soluções aparecem e descartar as que geram congruência.
Passo 2
Rotulemos
.
No triângulo vale
.
Então os ângulos em são
e em são
No triângulo
Então os ângulos em
e em
Passo 3
Para que
e
sejam semelhantes, os multiconjuntos
e
devem coincidir.
e
devem coincidir.
Passo 4
Igualando os multiconjuntos, obtemos duas famílias de soluções principais:
-
(ceviana é bissetriz) -
, ou seja
No caso
a ceviana é bissetriz em um triângulo isósceles (
), o que faz com que
. Isso contraria a não-congruência exigida.
Passo 5
Sobram apenas
Então em
ou seja
, e além disso
Logo
é retângulo em
e
é a altura ao hipotenusa, dando a famosa decomposição em dois triângulos semelhantes não congruentes.
Resposta
b) só são satisfeitas por triângulos retângulos.