(Unb-2000) Em uma região completamente plana, um barco, considerado aqui como um ponto material, envia sinais de socorro que são recebidos por duas estações de rádio,
e
, distantes entre si de 80 km . A semi-reta de origem
e que contém
forma, com a direção Sul-Norte, um ângulo de
no sentido Noroeste. Os sinais chegam em linha reta à estação
, formando um ângulo de
com a direção Sul-Norte no sentido Nordeste. Sabendo que a estação mais próxima dista 310 km do barco, calcule, em quilômetros, a distância do barco à outra estação.
Passo 1
O enunciado trata de um problema de geometria plana envolvendo dois pontos fixos
e
distantes
km e um ponto móvel (o barco). As direções dadas são ângulos em relação ao eixo Sul–Norte no ponto
. Vamos usar análise de ângulos (rumos) e depois o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo para achar a distância procurada.
Passo 2
Interpretamos os ângulos no ponto
:
– A semi‐reta forma com o eixo Sul–Norte um ângulo de
em sentido Noroeste, isto é, rumo
.
– A semi‐reta forma com o eixo Sul–Norte um ângulo de
em sentido Nordeste, isto é, rumo
.
– A semi‐reta
– A semi‐reta
Passo 3
Como
e
estão simetricamente defasados
à esquerda e
à direita do Norte, o ângulo entre
e
vale
Isso mostra que no triângulo
o vértice em
é reto.
Passo 4
Chamando de
a distância do barco até
e de
a distância até
, sabemos que uma delas é
km (a mais próxima). Como
km e o ângulo em
é
, pelo Teorema de Pitágoras temos
Passo 5
Como a estação mais próxima fica a
km do barco, concluímos
km. Logo
Resposta
A distância do barco à outra estação é
km (aproximadamente
km).