(Unb-2000) Em uma região completamente plana, um barco, considerado aqui como um ponto material, envia sinais de socorro que são recebidos por duas estações de rádio, B e C, distantes entre si de 80 km . A semi-reta de origem B e que contém C forma, com a direção Sul-Norte, um ângulo de 45^{\circ} no sentido Noroeste. Os sinais chegam em linha reta à estação B, formando um ângulo de 45^{\circ} com a direção Sul-Norte no sentido Nordeste. Sabendo que a estação mais próxima dista 310 km do barco, calcule, em quilômetros, a distância do barco à outra estação.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de geometria plana envolvendo dois pontos fixos B e C distantes 80 km e um ponto móvel (o barco). As direções dadas são ângulos em relação ao eixo Sul–Norte no ponto B. Vamos usar análise de ângulos (rumos) e depois o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo para achar a distância procurada.

Passo 2

Interpretamos os ângulos no ponto B:
– A semi‐reta B\to C forma com o eixo Sul–Norte um ângulo de 45^\circ em sentido Noroeste, isto é, rumo N45W.
– A semi‐reta B\to\text{barco} forma com o eixo Sul–Norte um ângulo de 45^\circ em sentido Nordeste, isto é, rumo N45E.

Passo 3

Como N45W e N45E estão simetricamente defasados 45^\circ à esquerda e 45^\circ à direita do Norte, o ângulo entre BC e B\to\text{barco} vale
45^\circ + 45^\circ = 90^\circ.
Isso mostra que no triângulo B C \text{barco} o vértice em B é reto.

Passo 4

Chamando de d_B a distância do barco até B e de d_C a distância até C, sabemos que uma delas é 310 km (a mais próxima). Como BC=80 km e o ângulo em B é 90^\circ, pelo Teorema de Pitágoras temos
d_C^2 = d_B^2 + BC^2.

Passo 5

Como a estação mais próxima fica a 310 km do barco, concluímos d_B=310 km. Logo
d_C = \sqrt{310^2 + 80^2} = \sqrt{96100 + 6400} = \sqrt{102500} = 50\sqrt{41}\approx320{,}16\text{ km}.

Resposta

A distância do barco à outra estação é 50\sqrt{41} km (aproximadamente 320{,}16 km).

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