(Colégio Naval-92) `O valor numérico da expressão a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4} para a=\frac{8}{17} e b=\frac{9}{17} é um número \mathbf{N} tal que:
a) \mathrm{N}<0
b) 10^{-4}<\mathrm{N}<10^{-3}
c) 10^{-3}<\mathrm{N}<10^{-2}
d) 10^{-2}<\mathrm{N}<10^{-1}
e) 10^{-1}<\mathrm{N}<1

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico de
a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4}
para \displaystyle a=\frac{8}{17} e \displaystyle b=\frac{9}{17}.
Conteúdo: manipulação de potências e fatoração de um quadrado perfeito.

Passo 2

Reconhecemos que
a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4} = \bigl(a^{2}-b^{2}\bigr)^{2},
pois é da forma x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2} com x=a^{2} e y=b^{2}.

Passo 3

Calculamos a^{2} e b^{2} e sua diferença:
a^{2} = \Bigl(\frac{8}{17}\Bigr)^{2} = \frac{64}{289}, \quad b^{2} = \Bigl(\frac{9}{17}\Bigr)^{2} = \frac{81}{289},
a^{2}-b^{2} = \frac{64}{289} - \frac{81}{289} = -\frac{17}{289} = -\frac{1}{17}.

Passo 4

Então
N = \bigl(a^{2}-b^{2}\bigr)^{2} = \Bigl(-\frac{1}{17}\Bigr)^{2} = \frac{1}{289}.
Em valor decimal,
\frac{1}{289}\approx 0{,}00346,
que satisfaz
10^{-3} = 0{,}001 < 0{,}00346 < 0{,}01 = 10^{-2}.

Resposta

c) 10^{-3}<N<10^{-2}

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