Escrever a equação da tangente e da normal à parábola
y=\sqrt{x}
no ponto com abscissa x=4.
Solução. Temos y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}; assim, o coeficiente angular da tangente será k=\left[y^{\prime}\right]_{x=4}=\frac{1}{4}. Como o ponto de contacto tem coordenadas x=1 e y=2 a equação da tangente é y-2=\frac{1}{4}(x-4), ou x-4 y+4=0.
Pela condição de perpendicularidade o coeficiente angular da normal é:
k_{1}=-4
donde a equação da normal resulta:
y-2=-4(x-4), \text { ou } 4 x+y-18=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=\sqrt{x} no ponto de abscissa x=4. Para isso, vamos usar cálculo diferencial para obter a derivada de y=\sqrt{x}, que dá o coeficiente angular da tangente, e depois aplicar a condição de perpendicularidade para achar o coeficiente angular da normal.

Passo 2

Derivando y=\sqrt{x}=x^{1/2}, temos
y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
No ponto x=4, o coeficiente angular da tangente é
m = y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot 2} = \frac{1}{4}.

Passo 3

O ponto de contato é (x_0,y_0)=(4,\sqrt{4})=(4,2). Usando a forma ponto-inclinação y - y_0 = m(x - x_0), a reta tangente fica
y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4).
Multiplicando por 4 e rearranjando, obtemos
4y - 8 = x - 4 \quad\Longrightarrow\quad x - 4y + 4 = 0.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é o negativo do inverso de m:
m_n = -\frac{1}{m} = -4.
Aplicando novamente a forma ponto-inclinação em (4,2),
y - 2 = -4(x - 4).
Expandindo e rearranjando, resulta
y - 2 = -4x + 16 \quad\Longrightarrow\quad 4x + y - 18 = 0.

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4) \quad\text{ou}\quad x - 4y + 4 = 0,
e a equação da reta normal é
y - 2 = -4(x - 4) \quad\text{ou}\quad 4x + y - 18 = 0.

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