Sob que ângulos, as sinusóides y=\operatorname{sen} x e y=\operatorname{sen} 2 x cortam o eixo das abscissas na origem das coordenadas?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo que a curva intercepta o eixo x no ponto de interseção (0,0). Geometricamente, isso é o ângulo que a reta tangente à curva em x=0 faz com o eixo das abscissas. Para encontrar esse ângulo, vamos usar cálculo diferencial: obter a derivada da função para achar o coeficiente angular da tangente em x=0 e depois usar a relação \tan\alpha=m, onde m é esse coeficiente.

Passo 2

Para y=\sin x, a derivada é \r
\frac{dy}{dx}=\cos x.\r
A inclinação da reta tangente em x=0 é \r
m_1=\cos(0)=1.

Passo 3

Para y=\sin(2x), aplicamos a regra da cadeia e obtemos\r
\frac{dy}{dx}=2\cos(2x).\r
Em x=0, a inclinação da tangente é \r
m_2=2\cos(0)=2.

Passo 4

O ângulo \alpha entre a reta de coeficiente angular m e o eixo x satisfaz \tan\alpha=m. Assim, para cada função:\r
\tan\alpha_1 = m_1 = 1, \qquad \tan\alpha_2 = m_2 = 2.

Passo 5

Resolvendo para \alpha:\r
\alpha_1 = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\\ (\text{ou }45^\circ), \qquad \alpha_2 = \arctan(2)\\ (\text{aprox. }63,43^\circ).

Resposta

Para y=\sin x, o ângulo é \displaystyle \alpha_1=\frac{\pi}{4} (ou 45^\circ). \r
Para y=\sin(2x), o ângulo é \displaystyle \alpha_2=\arctan(2) (aproximadamente 63,43^\circ).

Exercícios de Livros Relacionados