Compor as equações da tangente e da normal às curvas nos pontos dados:
y=\operatorname{arcsen} \frac{x-1}{2} no ponto de interseção com o eixo O X;

Passo 1

Beleza, temos a curva
y = \operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{x-1}{2}\bigr)
e queremos achar as retas tangente e normal ao gráfico no ponto em que ele cruza o eixo OX. Para isso, vamos (i) encontrar o ponto de interseção, (ii) calcular a derivada ali para obter o coeficiente angular, e (iii) montar as equações das retas.

Passo 2

O gráfico cruza o eixo OX quando y=0. Logo, resolvemos
\operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{x-1}{2}\bigr) = 0
o que implica \tfrac{x-1}{2}=0 e, portanto, x=1.
O ponto de interesse é P(1,0).

Passo 3

Para achar a derivada, usamos a regra
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arcsen}(u)\bigr] = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
com u = \tfrac{x-1}{2} e u' = \tfrac12. Assim
y' = \frac{\tfrac12}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{x-1}{2}\bigr)^2}} = \frac{1}{2\,\sqrt{1 - \tfrac{(x-1)^2}{4}}}.

Passo 4

Simplificando a raiz,
\sqrt{1 - \tfrac{(x-1)^2}{4}} = \frac{\sqrt{4 - (x-1)^2}}{2},
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y' = \frac{1}{\sqrt{4 - (x-1)^2}}.
Em x=1 isso dá
m = y'(1) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac12.

Passo 5

A reta tangente em P(1,0) com coeficiente angular m=\tfrac12 é
y - 0 = \frac12\,(x - 1)
ou seja
y = \frac12x - \frac12.

Passo 6

A reta normal tem coeficiente -\tfrac{1}{m} = -2. Então
y - 0 = -2\,(x - 1)
ou
y = -2x + 2.

Resposta

Equação da tangente: y = \tfrac12x - \tfrac12
Equação da normal: y = -2x + 2

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