Sob que ângulo, a tangentóide y=\operatorname{tg} x corta o eixo das abscissas na origem das coordenadas?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \alpha que a reta tangente à curva y=\tan x no ponto de abscissa x=0 (a origem) faz com o eixo das abscissas. Para isso vamos usar cálculo de derivadas para obter a inclinação da reta tangente e depois relacioná-la ao ângulo.

Passo 2

Derivamos a função y=\tan x. A derivada em relação a x é
\frac{dy}{dx} = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Avaliamos essa derivada em x=0:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0} = \operatorname{sec}^2 0 = 1.
Portanto, a inclinação da reta tangente na origem é m=1.

Passo 4

O ângulo \alpha entre a reta de coeficiente angular m e o eixo x satisfaz
\tan \alpha = m.
Como m=1, segue
\tan \alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

O ângulo é \displaystyle \frac{\pi}{4} rad (ou 45^\circ).

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