É comum encontrarmos produtos com conteúdo líquido menor que o declarado nas embalagens. Em uma pequena cidade, doces de leite são vendidos em copos de vidro em cujos rótulos consta a informação relativa ao “peso” de 200 g. Dois fabricantes, A e B, fornecem doces com conteúdo real médio de 190 g e 195 g , respectivamente. Um supermercado comprou um total de n copos (somadas as duas marcas) de doce de leite, e verificou-se que o conteúdo médio líquido do lote era 193,5 g.
Determine o número de copos comprados de cada fabricante, sabendo que um deles vendeu 40 copos a mais que o outro.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de média ponderada: há dois fabricantes cujos copos de doce de leite têm, em média, conteúdo real de 190 g (fabricante A) e 195 g (fabricante B). O supermercado comprou n copos no total e mediu conteúdo médio de 193,5 g no lote. Além disso, sabe-se que um fabricante vendeu 40 copos a mais que o outro. Vamos usar a fórmula da média ponderada e a condição da diferença para achar quantos copos vieram de cada um.

Passo 2

Seja x o número de copos do fabricante A e y o número de copos do fabricante B. A média ponderada dá
190,x + 195,yx+y = 193,5

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+y) e reorganizando, obtemos
190x + 195y = 193,5,x + 193,5,y Longrightarrow -3,5,x + 1,5,y = 0 Longrightarrow yx = 3,51,5 = 73

Passo 4

Da relação tfracyx=tfrac73 segue que podemos escrever x=3k e y=7k para algum inteiro k>0. A condição de que um vendeu 40 copos a mais que o outro implica
|y - x| = |7k - 3k| = 4k = 40 Longrightarrow k = 10

Passo 5

Substituindo k=10 em x=3k e y=7k vem
x = 3cdot10 = 30, y = 7cdot10 = 70

Resposta

Fabricante A: 30 copos
Fabricante B: 70 copos

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