Para que valores de a as médias aritméticas de -3, a, 10,9 e -2,3, a^2,-5 coincidem?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de a tais que as médias aritméticas dos conjuntos -3,,a,,10,,9 e -2,,3,,a^2,,-5 sejam iguais. Vamos usar a definição de média aritmética e depois resolver a equação resultante.

Passo 2

Calculamos a média do primeiro conjunto -3,,a,,10,,9. Pela definição,
média1 = -3 + a + 10 + 94 = a + 164 é

Passo 3

Calculamos a média do segundo conjunto -2,,3,,a^2,,-5. Pela mesma definição,
média2 = -2 + 3 + a^2 - 54 = a^2 - 44 é

Passo 4

Para que as médias coincidam, igualamos média1é e média2é:
a + 164 = a^2 - 44
Multiplicando ambos os lados por 4 e reorganizando,
a + 16 = a^2 - 4 Longrightarrow a^2 - a - 20 = 0
Essa é uma equação quadrática que fatoramos:
a^2 - a - 20 = (a - 5)(a + 4) = 0

Passo 5

As raízes da equação são
a = 5 ou a = -4

Resposta

a = 5 ou a = -4.

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