Seja o conjunto de valores 4,1,8,7 e n. Qual é o valor de n que minimiza a variância desses valores? Qual é, nesse caso, o valor da variância?

Passo 1

O enunciado pede o valor de n que minimiza a variância do conjunto de cinco valores
4,;1,;8,;7,;n,
além do valor mínimo dessa variância. Vamos usar a fórmula da variância populacional em termos da soma dos quadrados e do quadrado da média:
V(n)=15sumi=1^5xi^2 ;-;l(médiar)^2 é

Passo 2

Calcular a média mu em função de n. Temos
mu = 4 + 1 + 8 + 7 + n5 = 20 + n5 = 4 + n5

Passo 3

Encontrar sum xi^2 e expressar V(n).
sumi=1^5xi^2 = 4^2 + 1^2 + 8^2 + 7^2 + n^2 = 16 + 1 + 64 + 49 + n^2 = 130 + n^2
Logo,
V(n) = 130 + n^25 ;-;l(20+n5r)^2
Ao colocar no mesmo denominador e simplificar obtemos
V(n) = 4n^2 - 40n + 25025 = 425l(n^2 - 10n + 62,5r)

Passo 4

Minimizar V(n) completando o quadrado:
n^2 - 10n + 62,5 = (n - 5)^2 + 62,5 - 25 = (n - 5)^2 + 37,5
Então
V(n) = 425l[(n - 5)^2 + 37,5r]
é mínimo quando (n-5)^2=0, ou seja n=5. Nesse caso
Vmin = 425times 37,5 = 6

Resposta

O valor de n que minimiza a variância é n=5 e a variância mínima vale 6.

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