Quais as condições de x para que a expressão a x^2+b x+c, em que b^2-4 ac>0 e a <0, seja estritamente positiva?

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que
a x^2+b x+c>0
sabendo-se que De<a=b^2-4ac>0 (raízes reais e distintas) e a<0 (parábola voltada para baixo). Para resolver, vamos (i) calcular as raízes e (ii) usar o estudo de sinais de uma função quadrática.

Passo 2

Calcule o discriminante
De<a = b^2 - 4ac > 0
e as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x1 = -b - raizDe<a2a, x2 = -b + raizDe<a2a

Passo 3

Como a<0, a parábola de y = ax^2+bx+c abre para baixo. Nessa configuração, a função é positiva apenas no intervalo interno entre as duas raízes (pois fora delas o gráfico fica abaixo do eixo x).

Passo 4

Observe que -b - raizDe<a < -b + raizDe<a, mas o denominador 2a é negativo, logo
x1 = -b - raizDe<a2a > -b + raizDe<a2a = x2
Assim, a raiz menor é
x2 = -b + raizb^2 - 4ac2a,
e a maior é
x1 = -b - raizb^2 - 4ac2a
Pela abertura para baixo, a desigualdade ax^2 + bx + c>0 vale exatamente quando
x2 < x < x1

Resposta

-b + raizb^2-4ac2a ;<; x ;<; -b - raizb^2-4ac2a

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