Seja f(x)=a x^2+b x+c. Sabendo que f(1)=4, f(2)=0 e f(3)=-2, determine o produto abc .

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=a x^2+b x+c e informa três valores:
f(1)=4, f(2)=0, f(3)=-2
Queremos determinar o produto a,b,c. Para isso, vamos montar um sistema linear em a,b,c e usar o método de eliminação para encontrar cada coeficiente.

Passo 2

Escrevendo as três condições em forma de equações:
a + b + c = 4, 4a + 2b + c = 0, 9a + 3b + c = -2
Subtraindo a primeira equação da segunda e a segunda da terceira, eliminamos c:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=0-4;Rightarrow;3a + b = -4, (9a+3b+c)-(4a+2b+c)=-2-0;Rightarrow;5a + b = -2

Passo 3

Agora, eliminamos b subtraindo a primeira dessas novas equações da segunda:
(5a+b)-(3a+b)=(-2)-(-4)Rightarrow 2a = 2Rightarrow a = 1
Substituindo a=1 em 3a+b=-4 obtemos
3cdot1 + b = -4Rightarrow b=-7

Passo 4

Finalmente, usamos a+b+c=4 para achar c:
1 + (-7) + c = 4Rightarrow c = 4 + 7 - 1 = 10

Passo 5

Com a=1, b=-7 e c=10, o produto é
a,b,c = 1 times (-7) times 10 = -70

Resposta

-70

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