Determine m de modo que a equação do 2 : grau (m+1) x^2+2 x+m-1=0 tenha raízes positivas.

Passo 1

Resumindo, queremos achar todos os valores de m tais que a equação do segundo grau
(m+1)x^2 + 2x + (m-1) = 0
tenha duas raízes reais e ambas estritamente positivas. Para isso vamos usar os critérios clássicos de equação quadrática:
  1. a=m+1neq0 para ser de segundo grau.
  2. Discriminante De<a >= 0 para raízes reais.
  3. Soma e produto das raízes positivos para que as raízes sejam ambas positivas.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = m+1, b = 2, c = m-1
O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = 4 - 4(m+1)(m-1) = 4 - 4(m^2 - 1) = 8 - 4m^2 = 4,(2 - m^2)
Para termos raízes reais é preciso
De<a >= 0 Longrightarrow 2 - m^2 >= 0 Longrightarrow m^2 <= 2 Longrightarrow -raiz2 <= m <= raiz2

Passo 3

As raízes ,x1,x2 satisfazem
x1 + x2 = -ba = -2m+1, x1 x2 = ca = m-1m+1
Para ambas serem positivas, precisamos
x1 + x2 > 0 e x1 x2 > 0

Passo 4

Analisemos o sinal de a = m+1:
Caso 1: m+1>0 ( m>-1).
Então a>0 e
x1 + x2 = -2m+1 < 0
pois o numerador -2 é negativo e o denominador positivo. Logo não é possível ter soma positiva.
Caso 2: m+1<0 ( m< -1).
Então a<0 e
x1 + x2 = -2m+1 > 0
já que dividimos um negativo por outro negativo. Além disso
x1 x2 = m-1m+1
Aqui o denominador m+1 é negativo; para o quociente ser positivo, o numerador m-1 também deve ser negativo, ou seja m<1. Mas m< -1 já implica m<1.
Portanto, o único caso que funciona é
m< -1,
pois aí garantimos soma positiva e produto positivo.

Passo 5

Unindo todas as condições:
  1. m+1neq0 mneq -1.
  2. Discriminante De<a>=0 -raiz2<= m<= raiz2.
  3. Para raízes positivas precisamos m< -1.
A interseção é
-raiz2<= m < -1

Resposta

boxedminl[-raiz2,, -1r)

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