Determine
de modo que a equação do 2 : grau
tenha raízes positivas.
Passo 1
Resumindo, queremos achar todos os valores de
tais que a equação do segundo grau
tenha duas raízes reais e ambas estritamente positivas. Para isso vamos usar os critérios clássicos de equação quadrática:
-
para ser de segundo grau. - Discriminante
para raízes reais. - Soma e produto das raízes positivos para que as raízes sejam ambas positivas.
Passo 2
Identificamos os coeficientes:
O discriminante é
Para termos raízes reais é preciso
Passo 3
As raízes
satisfazem
Para ambas serem positivas, precisamos
Passo 4
Analisemos o sinal de
:
Caso 1:
(
).
Então e
Então
pois o numerador
é negativo e o denominador positivo. Logo não é possível ter soma positiva.
Caso 2:
(
).
Então e
Então
já que dividimos um negativo por outro negativo. Além disso
Aqui o denominador
é negativo; para o quociente ser positivo, o numerador
também deve ser negativo, ou seja
. Mas
já implica
.
Portanto, o único caso que funciona é
pois aí garantimos soma positiva e produto positivo.
Passo 5
Unindo todas as condições:
-
dá . - Discriminante
dá . - Para raízes positivas precisamos
.
A interseção é