Um cone e um cilindro têm uma base comum, e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do cone estão entre si como 74.

Passo 1

Temos um cilindro de raio da base R e altura H, e um cone de mesma base (raio R) cujo vértice fica no centro da outra base do cilindro (distante H do plano da base comum). Denotamos por l a geratriz do cone. Vamos usar as fórmulas de área total do cilindro e do cone e a razão dada para encontrar H/R, e então calcular o ângulo alpha entre o eixo do cone (altura) e sua geratriz.

Passo 2

A área total do cilindro é
Scil = 2pi R^2 + 2pi R H,
e a área total do cone é
Scone = pi R^2 + pi R,l,
com l = raizR^2 + H^2. A condição de razão
ScilScone = 74
torna-se, ao cancelar pi e fatorar R,
2R(R+H)Rl(R + raizR^2+H^2r) = 74 Longrightarrow 2,R+HR + raizR^2+H^2 = 74

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 4l(R+raizR^2+H^2r) obtemos
8,(R+H) = 7l(R + raizR^2 + H^2r) ;;Longrightarrow;; 8R + 8H = 7R + 7raizR^2 + H^2
Isolando a raiz e elevando ao quadrado resulta em
15H^2 + 16RH - 48R^2 = 0
Dividindo por R^2 e chamando k = H/R, fica
15k^2 + 16k - 48 = 0 ;;Longrightarrow;; k = HR = 43 (solução positiva) çã

Passo 4

Na seção reto–triangular do cone, a altura é H, o cateto da base é R e a hipotenusa é l=raizR^2+H^2. O ângulo alpha entre o eixo (altura) e a geratriz satisfaz
cosalpha = adjacentehipotenusa = Hl = tfrac43RraizR^2 + l(tfrac43Rr)^2 = tfrac43raiz1 + tfrac169 = 45
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alpha = arccos!l(tfrac45r)

Resposta

alpha = arccos!l(tfrac45r)approx 36,87^circ.

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