Um cone e um cilindro têm uma base comum, e o vértice do cone se encontra no centro da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do cone estão entre si como
.
Passo 1
Temos um cilindro de raio da base
e altura
, e um cone de mesma base (raio
) cujo vértice fica no centro da outra base do cilindro (distante
do plano da base comum). Denotamos por
a geratriz do cone. Vamos usar as fórmulas de área total do cilindro e do cone e a razão dada para encontrar
, e então calcular o ângulo
entre o eixo do cone (altura) e sua geratriz.
Passo 2
A área total do cilindro é
e a área total do cone é
com
. A condição de razão
torna-se, ao cancelar
e fatorar
,
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isolando a raiz e elevando ao quadrado resulta em
Dividindo por
e chamando
, fica
Passo 4
Na seção reto–triangular do cone, a altura é
, o cateto da base é
e a hipotenusa é
. O ângulo
entre o eixo (altura) e a geratriz satisfaz
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