Num cone circular reto de 18 m de altura, inscreve-se uma esfera de 5 m de raio. Calcule o diâmetro da base e a geratriz do cone.
Passo 1
O enunciado diz que temos um cone circular reto de altura
m e nele está inscrita uma esfera de raio
m. O que precisamos calcular é o diâmetro da base do cone e a sua geratriz. Para isso, vamos usar a seção vertical que passa pelo eixo do cone: ela forma um triângulo isósceles cuja base vale
(onde
é o raio da base do cone) e cuja altura vale
. A esfera, nessa seção, aparece como um círculo inscrito nesse triângulo, de raio
.
Passo 2
No triângulo isósceles de vértices
(vértice do cone),
e
(extremos da base), temos:
A área do triângulo é
O semiperímetro do triângulo é
Como o círculo inscrito (raio
) satisfaz
teremos a equação que envolve
.
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula do raio inscrito:
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 4
Agora elevamos ao quadrado:
Passo 5
O diâmetro da base é
m.
A geratriz do cone é
A geratriz do cone é
Resposta
Diâmetro da base:
m
Geratriz: m
Geratriz: