Num cone circular reto de 18 m de altura, inscreve-se uma esfera de 5 m de raio. Calcule o diâmetro da base e a geratriz do cone.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cone circular reto de altura 18 m e nele está inscrita uma esfera de raio 5 m. O que precisamos calcular é o diâmetro da base do cone e a sua geratriz. Para isso, vamos usar a seção vertical que passa pelo eixo do cone: ela forma um triângulo isósceles cuja base vale 2R (onde R é o raio da base do cone) e cuja altura vale h=18. A esfera, nessa seção, aparece como um círculo inscrito nesse triângulo, de raio r=5.

Passo 2

No triângulo isósceles de vértices V (vértice do cone), A e B (extremos da base), temos:
AB = 2R,
VA = VB = s = raizh^2 + R^2
A área do triângulo é
De<a = (AB)cdot h2 = 2Rcdot 182 = 18R
O semiperímetro do triângulo é
p = AB + VA + VB2 = 2R + s + s2 = R + s
Como o círculo inscrito (raio r=5) satisfaz
r = De<ap,
teremos a equação que envolve R.

Passo 3

Substituindo De<a e p na fórmula do raio inscrito:
5 = 18R,R + raiz18^2 + R^2,
Multiplicando ambos os lados por R + raiz324 + R^2,
5l(R + raiz324 + R^2r) = 18R
5R + 5raiz324 + R^2 = 18R
5raiz324 + R^2 = 13R

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado:
25l(324 + R^2r) = 169R^2
8100 + 25R^2 = 169R^2
144R^2 = 8100
R^2 = 8100144 = 56,25
R = 7,5 m

Passo 5

O diâmetro da base é 2R = 15 m.
A geratriz do cone é
s = raizh^2 + R^2 = raiz18^2 + 7,5^2 = raiz324 + 56,25 = raiz380,25 = 19,5 m

Resposta

Diâmetro da base: 15 m
Geratriz: 19,5 m

Exercícios de Livros Relacionados