Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 144 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera inscrita em um cubo: isso significa que a esfera toca as seis faces do cubo exatamente no meio de cada face. Sabemos a área lateral do cubo e queremos o volume do “espaço vazio” entre a esfera e o cubo, ou seja,
Vvazio = Vcubo - Vesfera

Passo 2

A área lateral de um cubo de aresta s é a soma das áreas das quatro faces laterais:
4s^2
Como nos deram
4s^2 = 144pi,
temos
s^2 = 36pi Longrightarrow s = 6raizpi

Passo 3

A esfera inscrita tem diâmetro igual à aresta do cubo, logo o raio é
r = s2 = 3raizpi

Passo 4

Calculamos o volume do cubo e da esfera separadamente.
O volume do cubo é
Vcubo = s^3 = (6raizpi)^3 = 216,pi^3/2
O volume da esfera é
Vesfera = 43,pi,r^3 = 43,pi,(3raizpi)^3 = 43,picdot27,pi^3/2 = 36,pi^5/2

Passo 5

Subtraindo, o volume entre o cubo e a esfera fica
Vvazio = 216,pi^3/2 - 36,pi^5/2 = 36,pi^3/2,(6 - pi)

Resposta

36,pi^3/2,(6 - pi) cm^3

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