Um cone está inscrito em uma esfera de raio r. A área lateral do cone é a quinta parte da área de uma zona de altura igual à altura do cone. Determine a distância do centro da esfera à base do cone.

Passo 1

O enunciado diz que um cone está inscrito numa esfera de raio r de modo que seu vértice toca o “polo norte” da esfera e sua base é um círculo obtido por um plano a certa distância do centro. A área lateral do cone vale tfrac15 da área de uma zona esférica cuja altura é igual à altura do cone. Vamos chamar de c a distância algébrica (positiva para planos acima do centro, negativa abaixo) entre o centro da esfera e o plano da base do cone. Nosso objetivo é achar a distância positiva lvert crvert.

Passo 2

Denotando por:
a = raizr^2 - c^2
o raio da base do cone, e
h = r - c
a altura do cone (distância do ápice em z=r até o plano z=c), temos o geratriz do cone
l = raiza^2 + h^2 = raizl(r^2 - c^2r) + (r - c)^2 = raiz2r,(r - c) = raiz2r,h,

Passo 3

A área lateral do cone é
Arm lat = pi,a,l
e a área da zona esférica de altura h é
Arm zona = 2pi,r,h
Pela condição do enunciado,
pi,a,l ;=;15,2pi,r,h Longrightarrow a,l = 25,r,h
Substituindo a=raizr^2-c^2 e l=raiz2r,h nessa igualdade e dividindo por h>0, obtemos
raiz2r,h,(r^2 - c^2) = tfrac25r,h ;;Longrightarrow;; 2r,h,(r^2 - c^2) = 425r^2,h^2 ;;Longrightarrow;; 2r,(r^2 - c^2) = 425r^2,(r - c)

Passo 4

Como r>0 e r-c>0 (cone não degenerado), podemos dividir ambos lados por 2(r-c),r, resultando em
r + c = 225,r Longrightarrow c = -2325,r
O sinal negativo indica que o plano da base está abaixo do centro. A distância positiva do centro à base é
lvert crvert = 2325,r

Resposta

A distância do centro da esfera à base do cone é 2325,r.

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