Um cone está inscrito em uma esfera de raio r. A área lateral do cone é a quinta parte da área de uma zona de altura igual à altura do cone. Determine a distância do centro da esfera à base do cone.
Passo 1
O enunciado diz que um cone está inscrito numa esfera de raio
de modo que seu vértice toca o “polo norte” da esfera e sua base é um círculo obtido por um plano a certa distância do centro. A área lateral do cone vale
da área de uma zona esférica cuja altura é igual à altura do cone. Vamos chamar de
a distância algébrica (positiva para planos acima do centro, negativa abaixo) entre o centro da esfera e o plano da base do cone. Nosso objetivo é achar a distância positiva
.
Passo 2
Denotando por:
o raio da base do cone, e
a altura do cone (distância do ápice em
até o plano
), temos o geratriz do cone
Passo 3
A área lateral do cone é
e a área da zona esférica de altura
é
Pela condição do enunciado,
Substituindo
e
nessa igualdade e dividindo por
, obtemos
Passo 4
Como
e
(cone não degenerado), podemos dividir ambos lados por
, resultando em
O sinal negativo indica que o plano da base está abaixo do centro. A distância positiva do centro à base é
Resposta
A distância do centro da esfera à base do cone é
.