A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de
, sendo esse cone circunscrito a uma esfera de raio 12 cm . Obtenha a área da menor calota determinada pelo círculo de contato das duas superfícies.
Passo 1
O enunciado diz que a geratriz de um cone faz um ângulo de
com o eixo do cone e que esse cone é circunscrito a uma esfera de raio
,cm. A esfera toca a superfície lateral do cone ao longo de um círculo e esse círculo divide a esfera em duas calotas. Queremos a área da calota menor, isto é, a calota próxima ao vértice do cone.
Passo 2
Coloquemos o vértice do cone em
, o centro da esfera em
sobre o eixo do cone, a distância
, e seja
o ângulo entre geratriz e eixo.
A condição de tangência da geratriz à esfera exige que a distância de à geratriz seja igual a
. Mas essa distância geométrica vale
. Logo,
A condição de tangência da geratriz à esfera exige que a distância de
Passo 3
Chamemos
um ponto de tangência. Na convenção em que o eixo do cone é vertical, com sentido positivo para cima (em direção ao vértice), o centro da esfera está em
e o ponto de contato tem coordenada
.
Pela construção, achamos que ,cm (ou seja,
fica
cm acima do centro da esfera). Assim, a calota menor tem altura
Pela construção, achamos que
Passo 4
A área
de uma calota esférica de raio
e altura
é
Substituindo
e
, vem