A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de 30^circ, sendo esse cone circunscrito a uma esfera de raio 12 cm . Obtenha a área da menor calota determinada pelo círculo de contato das duas superfícies.

Passo 1

O enunciado diz que a geratriz de um cone faz um ângulo de 30^circ com o eixo do cone e que esse cone é circunscrito a uma esfera de raio R=12,cm. A esfera toca a superfície lateral do cone ao longo de um círculo e esse círculo divide a esfera em duas calotas. Queremos a área da calota menor, isto é, a calota próxima ao vértice do cone.

Passo 2

Coloquemos o vértice do cone em O, o centro da esfera em S sobre o eixo do cone, a distância OS = d, e seja theta = 30^circ o ângulo entre geratriz e eixo.
A condição de tangência da geratriz à esfera exige que a distância de S à geratriz seja igual a R. Mas essa distância geométrica vale dsintheta. Logo,
dsintheta = R Longrightarrow d = Rsintheta = 12sin30^circ = 12tfrac12 = 24 cm

Passo 3

Chamemos P um ponto de tangência. Na convenção em que o eixo do cone é vertical, com sentido positivo para cima (em direção ao vértice), o centro da esfera está em z=0 e o ponto de contato tem coordenada zP.
Pela construção, achamos que zP=+6,cm (ou seja, P fica 6 cm acima do centro da esfera). Assim, a calota menor tem altura
h = R - zP = 12 - 6 = 6 cm

Passo 4

A área A de uma calota esférica de raio R e altura h é
A = 2pi R,h
Substituindo R=12 e h=6, vem
A = 2pi cdot 12 cdot 6 = 144pi cm^2

Resposta

144pi cm^2

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