Uma zona esférica de 5 cm de altura é equivalente a um fuso esférico de 45^circ da mesma esfera. Determine o volume e a área da esfera.

Passo 1

O enunciado diz que a área de uma zona esférica de altura 5,cm é igual à área de um fuso esférico de 45^circ da mesma esfera.
Matéria: áreas de porções de superfície esférica.
Vamos precisar das fórmulas:
– área de zona esférica (faixa entre dois planos paralelos) de altura h:
Azona = 2pi,R,h
– área de fuso esférico (faixa entre duas semi-circunferências cujo ângulo no centro é alpha, em radianos):
Afuso = 2,alpha,R^2

Passo 2

Convertemos o ângulo do fuso para radianos:
45^circ = pi4 rad
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Afuso = 2 cdot pi4 cdot R^2 = pi2,R^2

Passo 3

A área da zona esférica, com h=5,cm, é
Azona = 2pi,R cdot 5 = 10pi,R

Passo 4

Pelo enunciado as duas áreas são iguais, ou seja
10pi,R ;=;pi2,R^2
Cancelando pi e supondo R>0, obtemos
10,R = tfrac12,R^2 Longrightarrow 20,R = R^2 Longrightarrow R = 20 cm

Passo 5

Com R=20,cm, calculamos:
– volume da esfera:
V = 43,pi,R^3 = 43,pi,(20)^3 = 43,picdot8000 = 320003,pi cm^3
– área total da esfera:
S = 4pi,R^2 = 4pi,(20)^2 = 4picdot400 = 1600,pi cm^2

Resposta

Volume V = tfrac320003,pi cm^3
Área S = 1600,pi cm^2

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