(UF-BA) Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas por f(x)=x-1 e g(x)=log (x^2+1), é correto afirmar:
(01) A função f é bijetora, e sua inversa é a função h: R R definida por h(x)=x+1.
(02) 0 conjunto imagem da função g é o intervalo [0,+infty[.
(04) A função g é uma função par.
(08) Existe um número real x tal que f(g(x))=g(f(x)).
(16) O ponto (0,0) pertence ao gráfico da função g.

Passo 1

No enunciado temos as funções fcolon RtoR, f(x)=x-1, e gcolon RtoR, g(x)=log(x^2+1). Precisamos verificar quais das cinco afirmações numeradas (01, 02, 04, 08, 16) são verdadeiras e somar seus valores.

Passo 2

Uma função afim ;f(x)=ax+b com aneq0 é bijetora e sua inversa é f^-1(y)=(y-b)/a. Aqui a=1, b=-1, logo f^-1(x)=x+1. Portanto, a afirmação (01) é verdadeira.

Passo 3

Como x^2>=0 temos x^2+1>=1 e assim log(x^2+1)>=log(1)=0. Quando lvert xrverttoinfty a expressão cresce sem limite, garantindo imagem [0,infty[. Logo, a afirmação (02) é verdadeira.

Passo 4

Verificamos
g(-x)=log((-x)^2+1)=log(x^2+1)=g(x),
o que mostra que g é par. Portanto, a afirmação (04) é verdadeira.

Passo 5

Queremos x tal que
f(g(x))=g(f(x)),
isto é,
log(x^2+1)-1=logl((x-1)^2+1r)
Reescrevendo vem
x^2+1(x-1)^2+1=e,
o que leva ao polinômio
(e-1)x^2-2e x+(2e-1)=0
O discriminante é
De<a=(2e)^2-4(e-1)(2e-1)=-4l(e^2-3e+1r)<0,
logo não há raízes reais. A afirmação (08) é falsa.

Passo 6

Calculamos
g(0)=log(0^2+1)=log(1)=0
Assim, o ponto (0,0) pertence ao gráfico de g e a afirmação (16) é verdadeira.

Passo 7

As afirmações verdadeiras são 01, 02, 04 e 16, cujos valores somam
1+2+4+16=23

Resposta

23

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