c) x in R mid-3<x<-2 ou x>2
d) x in R mid x <= 3
e) x in R mid-2<x<2
194. (FGV-SP) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x)=2+a log (b x), com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas (150, 6) e (15, 2). Esse gráfico cruza o eixo x em um ponto de abscissa
a) raiz[3]104
b) 1425
c) raiz105
d) 710
e) raiz104
195. (UF-RS) Representando no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções reais de variável real f(x)=log |x| e g(x)=x(x^2-4), verificamos que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
196. (UE-CE) Se f(x)=l|x|, se -3 <= x <= 3 3, se x>3 ou x<-3, defina, para x neq 0, g(x) por g(x)=log 3 f(x). O conjunto imagem de g, dado por y in R ; y=g(x), x neq 0, é
a) (-infty, 0]
b) (-infty, 1]
c) [0,+infty)

Passo 1

No exercício 194, o enunciado diz que a função
f(x) = 2 + a logl(bxr)
é do tipo logarítmico, passa pelos pontos l(tfrac150,6r) e l(tfrac15,2r) e queremos achar a abscissa x0 onde o gráfico cruza o eixo x (isto é, f(x0)=0). Precisaremos usar esses dois pontos para determinar a e b e depois resolver 2 + alog(bx0)=0.

Passo 2

Substituímos o ponto l(tfrac15,2r) em f:
2 + a log!l(bcdottfrac15r) = 2
a log!l(tfrac b5r) = 0 Longrightarrow log!l(tfrac b5r)=0 Longrightarrow tfrac b5 = 1 Longrightarrow b = 5

Passo 3

Substituímos o ponto l(tfrac150,6r) em f (sabendo b=5):
2 + a log!l(5cdottfrac150r) = 6 Longrightarrow 2 + a log!l(tfrac110r) = 6 Longrightarrow a,(-1) = 4 Longrightarrow a = -4

Passo 4

Para achar o x-intercepto, impomos f(x0)=0:
2 + (-4),log!l(5x0r)=0 Longrightarrow log!l(5x0r)=tfrac12 Longrightarrow 5x0 = 10^1/2 = raiz10 Longrightarrow x0 = raiz105

Passo 5

No exercício 195, queremos contar o número de soluções reais da equação
loglvert xrvert = x,(x^2-4)
isto é,
loglvert xrvert = x^3 - 4x, xneq 0
Vamos estudar separadamente as regiões x>0 e x<0.

Passo 6

Para x>0, defina
h+(x) = ln x - l(x^3 -4xr)=ln x - x^3 +4x
Temos limxto0^+h+(x)=-infty e limxto+inftyh+(x)=-infty.
O ponto crítico nasce de
h+'(x)=1x -3x^2+4 =0 ;Longrightarrow; 3x^3 -4x -1=0,
que tem uma raiz em xapprox1,27, e aí
h+l(1,27r)>0
Logo h+ sobe de -infty até >0 e depois cai para -infty, gerando duas raízes positivas.

Passo 7

Para x<0, coloque t=-x>0. A equação vira
ln t = -t^3 +4t Longrightarrow m(t)=ln t + t^3 -4t =0
Analisando m, vemos limtto0^+m(t)=-infty, limtto+inftym(t)=+infty, e os extremos locais são negativos, gerando uma só raiz em t>1. Isso corresponde a uma única solução x<0.

Passo 8

No exercício 196, definimos
f(x)= lvert xrvert, & -3<= x<=3, 3, & x>3 ou x<-3,
e para xneq0
g(x) = log3f(x)
Queremos o conjunto imagem ,yin R : y=g(x),,xneq0.

Passo 9

Para -3<x<0 ou 0<x<3, temos f(x)=|x|in(0,3), então
g(x)=log3|x|inl(-infty,log33r)=(-infty,1)
Para x>3 ou x<-3, temos f(x)=3, então
g(x)=log33 =1
é também atingido.

Resposta

b) (-infty,1]

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