(UF-BA) Considerando-se a matriz , sendo k um número real, é correto afirmar:
(01) M é uma matriz simétrica, para qualquer k.
(02) M é uma matriz inversível se e somente se k neq 0 e, nesse caso, M^-1=1k(rr0 & 1 -1 & 0).
(04) Para algum valor de k, M é a matriz identidade de ordem 2.
(08) Identificando-se um ponto genérico ( x, y ) do plano cartesiano com a matriz-linha ( xy ) de ordem 1 times 2, se k=1 e (x, y) neq(0,0), então os pontos identificados por (0,0), (xy) e (xy)M são vértices de um triângulo retângulo isósceles.
(16) Dados dois números reais a e b, se k neq 0, então o sistema de equações Mbinomxy=binomab tem uma única solução x=bk, y=-ak.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M = k 0 & -1 [6pt] 1 & 0,
com kinR, e pede para verificar quais das afirmações (01), (02), (04), (08) e (16) são verdadeiras. Vamos usar propriedades de simetria, determinante, inversa, rotação no plano e solução de sistemas lineares.]
Passo 2
Verificamos a afirmação (01): “M é simétrica para qualquer k”.
A transposta é
Para ser simétrica precisaríamos de M^T=M, isto é -M=M, o que só ocorre se M=0 (isto é k=0). Logo, em geral M não é simétrica.
Portanto, (01) é falsa.]
Passo 3
Analisamos (02): “M é inversível sse kneq0 e, nesse caso,
M^-1 = 1k 0 & 1 [3pt] -1 & 0 ”
Como
det!l(0 & -1 [3pt]1 & 0r) = (0cdot0)-(-1cdot1)=1,
temos det(M)=k^2cdot1, que é não nulo sse kneq0. Para inversa, M=kA implica M^-1=tfrac1k,A^-1 e sabe-se que
A^-1 = 0 & 1 [3pt] -1 & 0
Logo, (02) é verdadeira.]
Passo 4
Avaliamos (04): “Para algum k, M é a matriz identidade I2.”
Isto exigiria
k0 & -1 [3pt]1 & 0 = 1 & 0 [3pt]0 & 1,
o que implicaria kcdot0=1 e kcdot(-1)=0, impossível para qualquer k.
Portanto, (04) é falsa.]
Passo 5
Analisamos (08): “Para k=1, os pontos (0,0), (x,y) e (x,y)M formam um triângulo retângulo isósceles, sempre que (x,y)neq(0,0).”
Com k=1,
(x,y)M = (x,y)0 & -1 [3pt]1 & 0 = (,y,,-x,)
Os vetores v=(x,y) e w=(y,-x) satisfazem
| v|^2=x^2+y^2, | w|^2=y^2+(-x)^2=x^2+y^2,
logo | v|=| w|, e
vcdot w = x,y + y(-x)=0,
logo são perpendiculares. Assim o triângulo é retângulo em (0,0) e tem dois lados iguais, sendo isósceles.
Portanto, (08) é verdadeira.]
Passo 6
Verificamos (
tem única solução ”
Escrevendo , o sistema dá
Como e da primeira . Há exatamente uma solução, conforme afirmado.
Logo, () é verdadeira.]
Resposta
As afirmações corretas são (02), (08) e (16), de modo que a soma dos códigos é
2 + 8 + 16 = 26
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 11