Considere o campo \vec{F}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=a_{1} \vec{e}_{1}+a_{2} \vec{e}_{2}+\cdots+a_{n} \vec{e}_{n}, em que a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} são constantes fixas e \vec{e}_{1}, \ldots, \vec{e}_{n} são os vetores canônicos de \mathbb{R}^{n}. Mostre que a integral
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma
independe do caminho de integração em \mathbb{R}^{n}. Calcule a função potencial do campo \vec{F}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x_{1},\dots,x_{n}) = a_{1}\,\vec{e}_{1} + a_{2}\,\vec{e}_{2} + \cdots + a_{n}\,\vec{e}_{n},
com a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R} constantes, e pede para mostrar que
\displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma
é independente do caminho em \mathbb{R}^{n} e encontrar a função potencial de \vec{F}. Vamos usar o critério de campo conservativo em domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^{n}) e construir explicitamente o potencial.

Passo 2

Para que um campo \vec{F}=(F_{1},\dots,F_{n}) seja conservativo em \mathbb{R}^{n}, basta que cada componente seja de classe C^{1} e que para todos i,j valha
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}.
No nosso caso F_{i}(x)=a_{i} é constante, logo
\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}} = 0
para todo i,j. Portanto \vec{F} é um campo fechado em \mathbb{R}^{n} e, como \mathbb{R}^{n} é simplesmente conexo, conclui-se que \vec{F} é conservativo. Daí o valor da integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f tal que \nabla f = \vec{F}, escrevemos as condições
\frac{\partial f}{\partial x_{i}} = a_{i},\qquad i=1,\dots,n.
Integramos cada equação em relação a x_{i}, tratando as outras variáveis como constantes:
f(x_{1},\dots,x_{n}) = \int a_{1}\,dx_{1} + \int a_{2}\,dx_{2} + \cdots + \int a_{n}\,dx_{n} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Cada integral é trivial, pois a_{i} é constante. Logo
f(x_{1},\dots,x_{n}) = a_{1}\,x_{1} + a_{2}\,x_{2} + \cdots + a_{n}\,x_{n} + C.
Podemos escolher C=0 sem perda de generalidade.

Resposta

A integral de linha de \vec{F} é independente do caminho em \mathbb{R}^{n}, e uma função potencial é
f(x_{1},\dots,x_{n}) = a_{1}\,x_{1} + a_{2}\,x_{2} + \cdots + a_{n}\,x_{n}.

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