Considere o campo
, em que
são constantes fixas e
são os vetores canônicos de
. Mostre que a integral
independe do caminho de integração em
. Calcule a função potencial do campo
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
constantes, e pede para mostrar que
é independente do caminho em e encontrar a função potencial de
. Vamos usar o critério de campo conservativo em domínio simplesmente conexo (aqui
) e construir explicitamente o potencial.
é independente do caminho em
Passo 2
Para que um campo
seja conservativo em
, basta que cada componente seja de classe
e que para todos
valha
No nosso caso
é constante, logo
para todo
. Portanto
é um campo fechado em
e, como
é simplesmente conexo, conclui-se que
é conservativo. Daí o valor da integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
, escrevemos as condições
Integramos cada equação em relação a
, tratando as outras variáveis como constantes:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Cada integral é trivial, pois
é constante. Logo
Podemos escolher
sem perda de generalidade.
Resposta
A integral de linha de
é independente do caminho em
, e uma função potencial é