Considere uma dízima periódica gerada pela fração irredutível mn. Se o número de algarismos do período é par e mdc(n, 11)=1, mostre que o período é múltipio de 11 .

Passo 1

O enunciado diz que a dízima periódica de tfracmn (em forma irreduzível) tem período de comprimento \emph{par}, digamos 2k dígitos, e que gcd(n,11)=1. Seja esse bloco periódico o número inteiro de 2k dígitos
P = d1d2dots d2k
Nosso objetivo é mostrar que 11mid P. Para isso, vamos usar (a) a eliminação do período multiplicando por 10^2k e subtraindo, e (b) a congruência 10equiv -1pmod11.

Passo 2

Separe a parte inteira A de tfracmn e escreva a parte decimal periódica como
x = 0d1d2dots d2k
Então
mn ;=; A + x
Multiplique x por 10^2k e subtraia x:
10^2kx - x = d1d2dots d2k = P
Logo,
(10^2k-1),x = P Longrightarrow x = P10^2k-1

Passo 3

Como x = tfracmn-A = tfracm - A,nn, temos
m - A,nn = P10^2k-1 Longrightarrow P = (m - A,n),l(10^2k-1r)n
Aqui (m - A,n) e n são inteiros, e por hipótese gcd(n,11)=1.

Passo 4

Fatore 10^2k-1 em
10^2k-1 = l(10^k-1r),l(10^k+1r)
Como 10equiv -1pmod11, temos 10^kequiv(-1)^kpmod11.
  • Se k é par, então 10^kequiv1pmod11, logo 10^k-1equiv0pmod11.
  • Se k é ímpar, então 10^kequiv-1pmod11, logo 10^k+1equiv0pmod11.
    Em qualquer caso, 11mid(10^2k-1). Como gcd(n,11)=1, essa fatoração de 11 não é “cancelada” pelo n. Portanto
11 mid (m - A,n),(10^2k-1)n Longrightarrow 11 mid P

Resposta

O número inteiro formado pelo bloco periódico de tfracmn tem 2k dígitos e é múltiplo de 11.

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