Considere uma dízima periódica gerada pela fração irredutível . Se o número de algarismos do período é par e , mostre que o período é múltipio de 11 .
Passo 1
O enunciado diz que a dízima periódica de (em forma irreduzível) tem período de comprimento \emph{par}, digamos dígitos, e que . Seja esse bloco periódico o número inteiro de dígitos
Nosso objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar (a) a eliminação do período multiplicando por e subtraindo, e (b) a congruência .
Passo 2
Separe a parte inteira de e escreva a parte decimal periódica como
Então
mn ;=; A + x
Multiplique x por 10^2k e subtraia x:
10^2kx - x = d1d2dots d2k = P
Logo,
(10^2k-1),x = P Longrightarrow x = P10^2k-1
Passo 3
Como x = tfracmn-A = tfracm - A,nn, temos
m - A,nn = P10^2k-1 Longrightarrow P = (m - A,n),l(10^2k-1r)n
Aqui (m - A,n) e n são inteiros, e por hipótese gcd(n,11)=1.
Passo 4
Fatore 10^2k-1 em
10^2k-1 = l(10^k-1r),l(10^k+1r)
Como 10equiv -1pmod11, temos 10^kequiv(-1)^kpmod11.
Se k é par, então 10^kequiv1pmod11, logo 10^k-1equiv0pmod11.
Se k é ímpar, então 10^kequiv-1pmod11, logo 10^k+1equiv0pmod11.
Em qualquer caso, 11mid(10^2k-1). Como gcd(n,11)=1, essa fatoração de 11 não é “cancelada” pelo n. Portanto
11 mid (m - A,n),(10^2k-1)n Longrightarrow 11 mid P
Resposta
O número inteiro formado pelo bloco periódico de tfracmn tem 2k dígitos e é múltiplo de 11.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 501