Seja c neq 0 um número real.
a) Se sumn=1^infty an é convergente, prove que sumn=1^infty c an também é convergente; e que, se a soma de sumn=1^infty an és, a de sumn=1^infty c an écs.
b) Se sumn=1^infty an é divergente, mostre que sumn=1^infty ca n também é divergente.
c) Mostre que sumn=1^infty 14 n é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para estudar como a operação de multiplicar cada termo de uma série por uma constante real cneq0 afeta convergência ou divergência. O que vamos usar é a definição de série numérica: uma série sumn=1^inftyan converge se a sequência das somas parciais
SN=sumk=1^N ak
tem limite finito quando Ntoinfty, e diverge caso contrário.

Passo 2

Suponha que sumn=1^inftyan seja convergente e que
limNtoinftySN=sinR,
onde SN=sumk=1^N ak. Defina
TN=sumk=1^N c,ak
Como c é constante podemos fatorar em cada soma parcial:
TN=csumk=1^N ak=c,SN
Quando Ntoinfty, SNto s, logo
TN=c,SN;longrightarrow;c,s
Portanto sumn=1^inftyc,an converge e sua soma é c,s.

Passo 3

Agora, suponha que sumn=1^inftyan seja divergente. Se por absurdo sumn=1^inftyc,an fosse convergente, então pelas mesmas somas parciais teríamos
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty1cl(c,anr)
convergente (pois tfrac1cneq0), o que contradiz a hipótese. Logo sumn=1^inftyc,an também diverge.

Passo 4

Para mostrar que
sumn=1^infty14n
diverge, note que
14n=14cdot1n
Sabemos que a série harmônica
sumn=1^infty1n
é divergente. Pelo item (b), multiplicar seus termos por tfrac14 não altera a divergência, portanto
sumn=1^infty14n
é divergente.

Resposta

a) sumn=1^inftyc,an converge e sua soma é c vezes a soma de sumn=1^inftyan.
b) Se sumn=1^inftyan diverge então sumn=1^inftyc,an também diverge.
c) sumn=1^inftytfrac14n é divergente.

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