Seja
um número real.
a) Se
é convergente, prove que
também é convergente; e que, se a soma de
és, a de
écs.
b) Se
é divergente, mostre que
ca
também é divergente.
c) Mostre que
é divergente.
a) Se
b) Se
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para estudar como a operação de multiplicar cada termo de uma série por uma constante real
afeta convergência ou divergência. O que vamos usar é a definição de série numérica: uma série
converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
, e diverge caso contrário.
Passo 2
Suponha que
seja convergente e que
onde
. Defina
Como
é constante podemos fatorar em cada soma parcial:
Quando
,
, logo
Portanto
converge e sua soma é
.
Passo 3
Agora, suponha que
seja divergente. Se por absurdo
fosse convergente, então pelas mesmas somas parciais teríamos
convergente (pois
), o que contradiz a hipótese. Logo
também diverge.
Passo 4
Para mostrar que
diverge, note que
diverge, note que
Sabemos que a série harmônica
é divergente. Pelo item (b), multiplicar seus termos por não altera a divergência, portanto
é divergente.
é divergente. Pelo item (b), multiplicar seus termos por
é divergente.
Resposta
a)
converge e sua soma é
vezes a soma de
.
b) Se diverge então
também diverge.
c) é divergente.
b) Se
c)