Prove que:
a) varrho(2)+Q(3)=varrho(5)
b) varrho(2) cdot varrho(3)=varrho(6) (sem usar o fato de que n varrho(n) define a imersão de Q em IR).
Resolução de a): Seja z in varrho(2)+varrho(3). Então z=x+y, onde x in varrho(2) e y in varrho(3), o que equivale a x<2 e y<3. Logo z=x+y<2+3=5, o que garante a relaçāo z in varrho(5). Por outro lado, se z in varrho(5), entāo z<5 e daí z=5-a, para alguns a in Q, a>0. Como z=5-a= =(2-a2)+(3-a2) e as parcelas desta última soma pertencem respectivamente a varrho(2) e varrho(3), então z in varrho(2)+varrho(3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de cortes de Dedekind, que
varrho(2)+varrho(3)=varrho(5)evarrho(2)cdotvarrho(3)=varrho(6)
Aqui usamos que, para dois cortes A,BsubsetQ,
A+B=,x+y : xin A,;yin B
e, quando A,B consistem de números positivos,
Acdot B=,zinQ:exists,xin A,;x>0,;exists,yin B,;y>0,;z<xy

Passo 2

Provar varrho(2)+varrho(3)subseteqvarrho(5).
Seja zinvarrho(2)+varrho(3). Então existem x<2 e y<3 tais que z=x+y. Logo
z = x+y < 2+3 = 5,
ou seja zinqinQ:q<5=varrho(5).

Passo 3

Provar varrho(5)subseteqvarrho(2)+varrho(3).
Seja zinvarrho(5). Então z<5, escrevemos z=5-a com a>0 em Q. Defina
x = 2 - a2, y = 3 - a2
Como x<2 e y<3, temos xinvarrho(2) e yinvarrho(3), e
x+y = l(2-tfraca2r)+l(3-tfraca2r)=5-a=z
Portanto zinvarrho(2)+varrho(3).

Passo 4

Provar varrho(2)cdotvarrho(3)subseteqvarrho(6).
Seja zinvarrho(2)cdotvarrho(3). Então existem xinvarrho(2) e yinvarrho(3) com x,y>0 tais que z<xy. Como x<2 e y<3, segue
z < xy < 2cdot3 = 6,
logo zinvarrho(6).

Passo 5

Provar varrho(6)subseteqvarrho(2)cdotvarrho(3).
Seja zinvarrho(6). Então z<6, escreva z=6-de<a com de<a>0. Queremos encontrar x<2 e y<3 tais que z<xy. Escolha
epsilon = min1,tfracde<a6, x=2-epsilon, y=3-epsilon
Então x>0, y>0, x<2, y<3 e
xy = (2-epsilon)(3-epsilon) =6 -5epsilon + epsilon^2 >6 -5epsilon >=6 -5cdotde<a6 =6 - 5de<a6 >6-de<a =z
Logo z<xy e assim zinvarrho(2)cdotvarrho(3).

Resposta

(a) varrho(2)+varrho(3)=varrho(5)
(b) varrho(2)cdotvarrho(3)=varrho(6)

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