Prove que:
a)
b)
(sem usar o fato de que
define a imersão de
em IR).
Resolução de a): Seja
. Então
, onde
e
, o que equivale a
e
. Logo
, o que garante a relaçāo
. Por outro lado, se
, entāo
e daí
, para alguns
. Como
e as parcelas desta última soma pertencem respectivamente a
e
, então
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de cortes de Dedekind, que
Aqui usamos que, para dois cortes
,
e, quando
consistem de números positivos,
Passo 2
Provar
.
Seja . Então existem
e
tais que
. Logo
Seja
ou seja
.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
, escrevemos
com
em
. Defina
Seja
Como
e
, temos
e
, e
Portanto
.
Passo 4
Provar
.
Seja . Então existem
e
com
tais que
. Como
e
, segue
Seja
logo
.
Passo 5
Provar
.
Seja . Então
, escreva
com
. Queremos encontrar
e
tais que
. Escolha
Seja
Então
,
,
,
e
Logo
e assim
.
Resposta
(a)
(b)
(b)