Considere uma dízima periódica gerada por uma fração irredutível mn tal que mdc (n, 9)=1. Mostre que o período da dízima é divisível por 9.
Resolução: Podemos supor m<n. Assim, seja 0, b1 b2 ldots b3 c1 c2 ldots cr a representação decimal de mn. Logo (ver demonstraçāo do teorema 3):
mn=b1 b2 ldots b3 c1 c2 ldots c1-b1 b2 ldots b399 ldots 900 ldots 0
onde o número de “noves” é te o de “zeros” é s. Observando que
b1 b2 ldots b3 c1 c2 ldots c1=c1 c2 ldots c1+10^prime cdot(b1 b2 ldots b3)
e fazendo c1 c2 ldots c1=P e b1 b2 ldots bx=A, entảo ( 99 ldots 900 ldots 0 ) cdot m= =n[c1 c2 ldots c1+10^t cdot(b1 b2 ldots b5)-b1 b2 ldots b5]= =n[P+A(10^prime-1)]
Como 9 mid 99 ldots 900 ldots 0, então 9 divide n[P+A(10^t-1)]. Mas sendo primo com n, 9 é divisor de P+A(10^prime-1). Levando em conta que 10^prime-1=99 ldots 9 é múltiplo de 9 , então 9 mid P.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma fração irreduzível tfracmn com gcd(n,9)=1 cuja expansão decimal é periódica. Denotamos por s o número de algarismos antes do período e por r o comprimento do período. Seja
0,b1b2ldots bsc1c2ldots cr
essa expansão, e queremos mostrar que o inteiro P=c1c2ldots cr (o “período”) é divisível por 9.

Passo 2

Pelo teorema da dízima periódica,
mn =b1b2ldots bsc1c2ldots cr;-;b1b2ldots bs 10^sl(10^r-1r)

Passo 3

Definimos
A = b1b2ldots bs, P = c1c2ldots cr
Repare que
b1ldots bsc1ldots cr = Acdot 10^r + P,
então o numerador fica
(Acdot 10^r + P) - A = P + Al(10^r-1r),
e
mn =P + Al(10^r-1r)10^sl(10^r-1r)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por n,10^s(10^r-1), temos
m,10^s(10^r-1) = nl(P + A(10^r-1)r)
Como 10^requiv1pmod9, segue 9mid(10^r-1), logo
9 mid m,10^s(10^r-1)
Mas gcd(n,9)=1, então 9 não pode dividir n e, da igualdade acima, deve dividir
P + A(10^r-1)
Além disso, A(10^r-1) é múltiplo de 9, pois (10^r-1) já é. Por fim, se 9 divide P + A(10^r-1) e também divide A(10^r-1), então necessariamente
9 mid P

Resposta

O número formado pelo período P=c1c2ldots cr é múltiplo de 9.

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