Mostre que:
lim nn+1=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = nn+1
tem limite igual a 1 quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é a definição de limite de sequência pelo critério de varepsilon- N.

Passo 2

Pela definição de limite, devemos provar que para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, se n>= N, então
l|an - 1r| < varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença em valor absoluto:
l|an - 1r| = |nn+1 - 1| = |n - (n+1)n+1| = |-1n+1| = 1n+1

Passo 4

Queremos então
1n+1 < varepsilon Long<=ftrightarrow n+1 > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1varepsilon - 1
Escolhendo qualquer inteiro
N >= 1varepsilon,
asseguramos que para todo n>= N teremos n+1>= N+1>1varepsilon, logo 1n+1<varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, dado varepsilon>0, basta tomar N=llceil1/varepsilonrrceil. Então, para todo n>= N, vale
l|an - 1r| = 1n+1 < varepsilon,
o que prova que
limntoinftynn+1 = 1

Resposta

1

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