Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
21
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Passo 1
O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal de todas as frações irredutíveis da forma
. Esse é um exercício de aritmética modular e de repetição decimal, onde vamos usar o conceito de ordem multiplicativa.
Passo 2
Para uma fração
com
e
coprimo a 10, o período da parte decimal tem comprimento igual à ordem de 10 no grupo multiplicativo
, isto é, o menor
tal que
Passo 3
No nosso caso
. Como 3 e 7 são coprimos a 10, a ordem de 10 em
é
Calculamos separadamente:
- Módulo 3:
, logo . - Módulo 7:
e verificamos
portanto
.
Passo 4
Fazendo o mínimo múltiplo:
Isso significa que todas as frações irredutíveis
têm período decimal de exatamente 6 algarismos.
Resposta
O número de algarismos do período é 6.