Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
21

Passo 1

O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal de todas as frações irredutíveis da forma a21. Esse é um exercício de aritmética modular e de repetição decimal, onde vamos usar o conceito de ordem multiplicativa.

Passo 2

Para uma fração an com gcd(a,n)=1 e n coprimo a 10, o período da parte decimal tem comprimento igual à ordem de 10 no grupo multiplicativo (Z/nZ)^times, isto é, o menor k>0 tal que
10^k equiv 1 pmodn

Passo 3

No nosso caso n=21=3cdot7. Como 3 e 7 são coprimos a 10, a ordem de 10 em Z/21 é
ord21(10) ;=;lcml(ord3(10),;ord7(10)r)
Calculamos separadamente:
  • Módulo 3: 10equiv1pmod3, logo ord3(10)=1.
  • Módulo 7: 10equiv3pmod7 e verificamos
3^1equiv3,;3^2equiv2,;3^3equiv6,;3^4equiv4,;3^5equiv5,;3^6equiv1pmod7,
portanto ord7(10)=6.

Passo 4

Fazendo o mínimo múltiplo:
ord21(10)=lcm(1,6)=6
Isso significa que todas as frações irredutíveis a21 têm período decimal de exatamente 6 algarismos.

Resposta

O número de algarismos do período é 6.

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