Seja p>1 um número primo diferente de 2 e de 5. Mostre que se o período da dízima gerada por 1p tem um número par de algarismos, digamos 1p=0, a1 a2 ldots a2 t, então a1+at+1=a2+at+2=ldots= =at+a2 t=9. Por exemplo:
17=0,142857, onde 1+8=4+5=2+7=9
Sugestāo: Por hipótese, 2 t é o menor expoente estritamente positivo tal que 10^2 t equiv 1(bmod p). Daí (10^t-1)(10^t+1) equiv 0(bmod p) e portanto 10^t+1 equiv 0(bmod p). Isso obriga 10^t+1p=1p+10^t cdot 1p a ser um número inteiro.

Passo 1

O enunciado trata da expansão decimal periódica de tfrac1p, onde p>1 é primo e pneq2,5. Sabemos que o período d de tfrac1p é o menor inteiro positivo tal que
10^dequiv1pmod p,
e nos diz que d=2t é par, de modo que
1p=0a1a2ldots a2t
O conteúdo aqui é teoria de números (ordem multiplicativa) e interpretação de soma de expansões decimais.

Passo 2

Como 2t é o menor expoente com 10^2t equiv 1 pmod p, temos
l(10^t - 1r) l(10^t + 1r) equiv 0 pmod p
Mas não pode ocorrer 10^t equiv 1 pmod p (pois isso contradiz a minimalidade de 2t), logo
10^t + 1 equiv 0 pmod p,
i.e., 10^t equiv -1 pmod p.

Passo 3

Da congruência 10^t+1equiv0pmod p segue que
10^t+1pinZ
Observe ainda que
10^t+1p =10^tcdot1p+1p

Passo 4

Escrevemos as expansões decimais periódicas:
1p=0a1a2ldots a2t,
10^tcdot1p =underbracea1a2ldots atparte inteira +0at+1at+2ldots a2t,a1a2ldots at
Ao somar esses dois números obtemos um inteiro, portanto a soma das partes decimais deve dar
0a1a2ldots a2t +0at+1ldots a2t,a1ldots at =09,9ldots 9 (pois só (0overline9=1) é inteiro sem parte fracionária) óéá
Assim, em cada casa decimal correspondente, deve valer
ak + ak+t=9, k=1,2,dots,t

Resposta

Em cada posição k do período de comprimento 2t temos
ak + ak+t = 9,
isto é,
a1+at+1=a2+at+2=cdots =at+a2t=9

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