Considere uma fraçāo irredutível mn tal que 0<mn<1 e n é formado por dois algarismos.
a) Determine todos os valores possíveis de n>1 a firm de que a representaçāo decimal desse número seja infinita com um algarismo no anteperíodo e três no período.
b) Tomando para n a menor das soluçōes encontradas em a), determine m a fim de que o pré-período seja 8.

Passo 1

O enunciado pede dois dígitos para o denominador n de uma fração irreduzível mn, com 0<mn<1, de forma que sua representação decimal seja periódica infinita com um dígito no anteperíodo (pré-período) e três dígitos no período. Vamos usar o fato de que, escrito
n = 2^alpha 5^beta d,
com d coprimo a 10, temos
  • o comprimento do anteperíodo k = max(alpha,beta),
  • o comprimento do período t é o menor inteiro tal que 10^tequiv1pmod d.
    Precisamos de k=1 e t=3, com 10<= n<=99.

Passo 2

Como t=3, o número d divide
10^3 - 1 = 999 = 3^3cdot37
e não divide nem 10^1-1=9 nem 10^2-1=99. Os divisores de 999 que satisfazem ordem exata 3 são
din27,;37,;111,;333,;999

Passo 3

Como queremos k=1, os expoentes alpha,betain0,1 não ambos zero. Há três casos:
  • (alpha,beta)=(1,0)Rightarrow n=2d,
  • (alpha,beta)=(0,1)Rightarrow n=5d,
  • (alpha,beta)=(1,1)Rightarrow n=10d.
    Agora filtramos 10<= n<=99:
  • Para 2d: 2cdot27=54, 2cdot37=74 são válidos; 2cdot111>99 e adiante dá maior que 99.
  • Para 5d e 10d, já no menor d=27 ultrapassa 99.

Passo 4

Logo, os únicos valores de n de dois algarismos são
boxedn=54ou n=74

Passo 5

Para a parte (b), tomamos n=54 (a menor) e queremos que o dígito do anteperíodo seja 8, isto é,
0.8<=m54<0.9
e gcd(m,54)=1. Isso leva a
43,2<= m<48,6Longrightarrow min44,45,46,47,48
Destes, apenas m=47 é primo a 54.

Resposta

a) n=54 ou n=74.
b) Para n=54, o valor de m é 47.

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