Considere uma fraçāo irredutível
tal que
e
é formado por dois algarismos.
a) Determine todos os valores possíveis de
a firm de que a representaçāo decimal desse número seja infinita com um algarismo no anteperíodo e três no período.
b) Tomando para n a menor das soluçōes encontradas em a), determine m a fim de que o pré-período seja 8.
a) Determine todos os valores possíveis de
b) Tomando para n a menor das soluçōes encontradas em a), determine m a fim de que o pré-período seja 8.
Passo 1
O enunciado pede dois dígitos para o denominador
de uma fração irreduzível
, com
, de forma que sua representação decimal seja periódica infinita com um dígito no anteperíodo (pré-período) e três dígitos no período. Vamos usar o fato de que, escrito
com
coprimo a 10, temos
- o comprimento do anteperíodo
, - o comprimento do período
é o menor inteiro tal que .
Precisamos dee , com .
Passo 2
Como
, o número
divide
e não divide nem
nem
. Os divisores de 999 que satisfazem ordem exata 3 são
Passo 3
Como queremos
, os expoentes
não ambos zero. Há três casos:
-
, -
, -
.
Agora filtramos: - Para
: , são válidos; e adiante dá maior que 99. - Para
e , já no menor ultrapassa 99.
Passo 4
Logo, os únicos valores de
de dois algarismos são
Passo 5
Para a parte (b), tomamos
(a menor) e queremos que o dígito do anteperíodo seja
, isto é,
e
. Isso leva a
Destes, apenas
é primo a 54.
Resposta
a)
ou
.
b) Para , o valor de
é
.
b) Para