Prove que, para todo k in R e para todo número real a>1, existe n in N^* de modo que a^n>k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência geométrica de razão a>1 diverge para +infty, ou seja, dado qualquer kinR existe ninN^* tal que a^n>k. Vamos usar a desigualdade de Bernoulli e a propriedade arquimediana de N.

Passo 2

Se k<0, então, como a^n>0 para todo n, já temos imediatamente
a^n > 0 > k,
logo basta tomar qualquer ninN^*.

Passo 3

Agora suponha k>=0. Defina
u = a - 1 > 0,
de modo que a = 1+u. Pela desigualdade de Bernoulli, para todo ninN^* vale
(1+u)^n >= 1 + n,u

Passo 4

Queremos a^n = (1+u)^n > k. Pela Bernoulli basta ter
1 + n,u > k Long<=ftrightarrow n,u > k - 1 Long<=ftrightarrow n > k - 1u
Pela propriedade arquimediana de N, existe ninN^* tal que
n > k - 1u

Passo 5

Para esse n escolhido, temos
a^n = (1+u)^n >= 1 + n,u > k,
o que completa a demonstração.

Resposta

Demonstração concluída: para todo kinR e a>1 existe ninN^* com a^n>k.

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