Prove que, para todo
e para todo número real
, existe
de modo que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência geométrica de razão
diverge para
, ou seja, dado qualquer
existe
tal que
. Vamos usar a desigualdade de Bernoulli e a propriedade arquimediana de
.
Passo 2
Se
, então, como
para todo
, já temos imediatamente
logo basta tomar qualquer
.
Passo 3
Agora suponha
. Defina
de modo que
. Pela desigualdade de Bernoulli, para todo
vale
Passo 4
Queremos
. Pela Bernoulli basta ter
Pela propriedade arquimediana de
, existe
tal que
Passo 5
Para esse
escolhido, temos
o que completa a demonstração.
Resposta
Demonstração concluída: para todo
e
existe
com
.