Sejam
tais que
. Mostre que
é irracional e que
. Conclua daí que I é denso em
.
Resoluçāo: Se
fosse racional, então
também o seria, o que é absurdo. Por outro lado, como
, então
; daí
e portanto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois racionais
, o número
é irracional e satisfaz
Com isso, devemos concluir que o conjunto dos irracionais é denso em
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
. Como
, segue que
é racional. Então
seria também racional, contrariando a irracionalidade de
. Logo,
é irracional.
Passo 3
Para ver que
fica entre
e
, note que
implica
Multiplicando por
obtemos
Somando
em todos os termos chega-se a
ou seja,
Resposta
Concluímos que, entre quaisquer racionais
, existe um irracional
tal que
. Portanto, o conjunto dos números irracionais é denso em
.