Sejam r, s in Q tais que r<s. Mostre que alpha=r+s-rraiz2 é irracional e que r<alpha<s. Conclua daí que I é denso em R.
Resoluçāo: Se alpha fosse racional, então raiz2=s-ra-r também o seria, o que é absurdo. Por outro lado, como raiz2>1, então 0<1raiz2<1; daí 0<s-rraiz2<s-r e portanto r<r+s rraiz2<s.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois racionais r<s, o número
alpha = r + s-rraiz2
é irracional e satisfaz
r<alpha<s
Com isso, devemos concluir que o conjunto dos irracionais é denso em R.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que alphainQ. Como rinQ, segue que
alpha - r = s-rraiz2
é racional. Então
raiz2 = s-ralpha - r
seria também racional, contrariando a irracionalidade de raiz2. Logo, alpha é irracional.

Passo 3

Para ver que alpha fica entre r e s, note que raiz2>1 implica
0 < 1raiz2 < 1
Multiplicando por s-r>0 obtemos
0 < s-rraiz2 < s-r
Somando r em todos os termos chega-se a
r < r + s-rraiz2 < r + (s-r) = s,
ou seja,
r < alpha < s

Resposta

Concluímos que, entre quaisquer racionais r<s, existe um irracional alpha tal que r<alpha<s. Portanto, o conjunto dos números irracionais é denso em R.

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