Considere a função f(x, y)=3 x^2 y.
a) Calcule fx(10,15).
b) Calcule f(11,15)-f(10,15) e compare com o resultado obtido em (a).
c) Calcule fy(10,15).
d) Calcule f(10,16)-f(10,15) e compare com o resultado obtido em (c).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^2y
e pede: (a) a derivada parcial de f em relação a x no ponto (10,15); (b) a variação exata f(11,15)-f(10,15) e comparação com o valor linear aproximado vindo de (a); (c) a derivada parcial de f em relação a y no ponto (10,15); (d) a variação exata f(10,16)-f(10,15) e comparação com o valor linear aproximado vindo de (c).
Para isso vamos usar a definição de derivada parcial e o conceito de aproximação linear f(x0+De<a x,y0)approx f(x0,y0)+fx(x0,y0),De<a x (e análogo para y).

Passo 2

Calcular fx(x,y) mantendo y fixo:
fx(x,y) =partialpartial x(3x^2y) =3cdot 2xcdot y =6xy
Logo,
fx(10,15) =6cdot 10cdot 15 =900

Passo 3

Calcular a variação exata em x de 10 para 11, com y=15:
f(11,15)=3cdot 11^2cdot 15 =3cdot 121cdot 15 =5445,
f(10,15)=3cdot 10^2cdot 15 =3cdot100cdot15 =4500,
f(11,15)-f(10,15)=5445-4500=945
A aproximação linear (passo de De<a x=1) seria
fx(10,15),De<a x=900cdot1=900
Comparando, a variação exata 945 é um pouco maior do que a previsão linear 900, por causa dos termos de ordem superior em x.

Passo 4

Calcular fy(x,y) mantendo x fixo:
fy(x,y) =partialpartial y(3x^2y) =3x^2
Logo,
fy(10,15) =3cdot 10^2 =300

Passo 5

Calcular a variação exata em y de 15 para 16, com x=10:
f(10,16)=3cdot 10^2cdot 16 =4800,
f(10,15)=4500 Longrightarrow f(10,16)-f(10,15)=4800-4500=300
A aproximação linear (passo de De<a y=1) seria
fy(10,15),De<a y=300cdot1=300
Neste caso a variação exata 300 coincide exatamente com a previsão linear 300, pois f é linear em y.

Resposta

a) fx(10,15)=900.
b) f(11,15)-f(10,15)=945, que difere da aproximação linear 900.
c) fy(10,15)=300.
d) f(10,16)-f(10,15)=300, que coincide com a aproximação linear 300.

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