Considere as funções:
& f(x)=2 x+3 & g(x)=a x+b
Determine o conjunto C dos pontos (a, b) in R^2 tais que f circ g=g circ f.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=2x+3
e
g(x)=ax+b,
ambas definidas em R, e pede o conjunto CsubsetR^2 de todos os pares (a,b) tais que
fcirc g = gcirc f
Para resolver, vamos usar a definição de composição de funções:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r), (gcirc f)(x)=gl(f(x)r)

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x). Substituindo g(x)=ax+b em f, temos
(fcirc g)(x) = fl(ax+br) = 2l(ax+br)+3 = 2a,x + 2b + 3

Passo 3

Calcular (gcirc f)(x). Substituindo f(x)=2x+3 em g, obtemos
(gcirc f)(x) = gl(2x+3r) = al(2x+3r)+b = 2a,x + 3a + b

Passo 4

Impor a igualdade de funções fcirc g = gcirc f para todo x. Isso exige que os coeficientes de x e as constantes coincidam:
coeficiente de x: 2a = 2a (sempre verdadeiro),
termos constantes:
2b + 3 = 3a + b
Resolvendo para b,
2b + 3 = b + 3a Longrightarrow b = 3a - 3

Passo 5

Concluímos que a condição de comutação ocorre exatamente quando
b = 3a - 3
Portanto, o conjunto de todos os pares (a,b) é a reta dada por essa equação em R^2.

Resposta

C = (a,b)inR^2 mid b = 3a - 3

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