Faça o que se pede em cada item.
a) Defina função bijetora.
b) Demonstre que f, definida no intervalo 0<x<s ( s>0 ) do seguinte modo: f(x)=2 x-sx(s-x), é uma função bijetora desse intervalo nos reais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) dar a definição de função bijetora, ou seja, o que significa uma aplicação ser injetora e sobrejetora;
(b) mostrar que a função
fcolon(0,s)toR, f(x)=2x-sx,(s-x),
com s>0, é bijetora. Para isso vamos usar cálculo de derivada (injetividade) e limites nos extremos do intervalo (sobrejetividade).

Passo 2

Definição de função bijetora: seja fcolon Ato B. Dizemos que f é bijetora se simultaneamente vale:
1. f é injetora: para quaisquer x1,x2in A, se f(x1)=f(x2) então x1=x2.
2. f é sobrejetora: para todo yin B existe xin A tal que f(x)=y.

Passo 3

Injetividade de f. Como f é diferenciável em (0,s) (denominador nunca zero nesse intervalo), basta mostrar que f' não muda de sinal. Calculamos
f(x)=2x-sx(s-x), N(x)=2x-s, D(x)=x(s-x),
N'(x)=2, D'(x)=s-2x,
f'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)D(x)^2 =2l(x(s-x)r)-(2x-s)(s-2x)l[x(s-x)r]^2
No numerador surge
2l(sx-x^2r)-(4sx-4x^2-s^2) =2sx-2x^2-4sx+4x^2+s^2 =2x^2-2sx+s^2
Como o discriminante De<a=(-2s)^2-4cdot2cdot s^2=-4s^2<0, temos sempre
2x^2-2sx+s^2>0,
e como D(x)^2>0 em (0,s), segue f'(x)>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 4

Sobrejetividade de f. Primeiro notamos que f é contínua em (0,s). Calculamos os limites nos extremos:
limxto0^+f(x) =limxto0^+2x-sx(s-x) =-s0^+ =-infty,
limxto s^-f(x) =limxto s^-2x-sx(s-x) =s0^+ =+infty
Como f é contínua e estritamente crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário ela atinge todos os valores em R. Assim f é sobrejetora.

Passo 5

Concluímos que f é injetora e sobrejetora de (0,s) em R, isto é, é bijetora.

Resposta

(a) Uma função fcolon Ato B é bijetora se for ao mesmo tempo injetora (valores distintos em A dão imagens distintas) e sobrejetora (cada ponto de B é imagem de algum ponto em A).
(b) Para f(x)=2x-sx(s-x) em (0,s) mostramos que f'(x)>0 (logo injetora) e que limxto0^+f(x)=-infty, limxto s^-f(x)=+infty (logo sobrejetora). Portanto f é bijetora de (0,s) em R.

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