Faça o que se pede em cada item.
a) Defina função bijetora.
b) Demonstre que
, definida no intervalo
(
) do seguinte modo:
, é uma função bijetora desse intervalo nos reais.
a) Defina função bijetora.
b) Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) dar a definição de função bijetora, ou seja, o que significa uma aplicação ser injetora e sobrejetora;
(b) mostrar que a função
(a) dar a definição de função bijetora, ou seja, o que significa uma aplicação ser injetora e sobrejetora;
(b) mostrar que a função
com
, é bijetora. Para isso vamos usar cálculo de derivada (injetividade) e limites nos extremos do intervalo (sobrejetividade).
Passo 2
Definição de função bijetora: seja
. Dizemos que
é bijetora se simultaneamente vale:
.
é injetora: para quaisquer
, se
então
.
.
é sobrejetora: para todo
existe
tal que
.
Passo 3
Injetividade de
. Como
é diferenciável em
(denominador nunca zero nesse intervalo), basta mostrar que
não muda de sinal. Calculamos
No numerador surge
Como o discriminante
, temos sempre
e como
em
, segue
para todo
. Logo
é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Passo 4
Sobrejetividade de
. Primeiro notamos que
é contínua em
. Calculamos os limites nos extremos:
Como
é contínua e estritamente crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário ela atinge todos os valores em
. Assim
é sobrejetora.
Passo 5
Concluímos que
é injetora e sobrejetora de
em
, isto é, é bijetora.
Resposta
(a) Uma função
é bijetora se for ao mesmo tempo injetora (valores distintos em
dão imagens distintas) e sobrejetora (cada ponto de
é imagem de algum ponto em
).
(b) Para em
mostramos que
(logo injetora) e que
,
(logo sobrejetora). Portanto
é bijetora de
em
.
(b) Para