Sejam m, n inteiros quaisquer. Mostre que:
a) m é par se, e somente se, m+2 n é par

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros quaisquer m e n, vale a equivalência
m é parLong<=ftrightarrow m+2n é par éé
O conteúdo principal é a definição de número par: um inteiro x é par se existe kinZ tal que x=2k.

Passo 2

Suponha que m é par. Então existe kinZ com
m = 2k
Somando 2n aos dois lados, obtemos
m + 2n = 2k + 2n = 2,(k+n)
Como k+ninZ, segue que m+2n é par.

Passo 3

Agora suponha que m+2n é par. Então existe hinZ tal que
m + 2n = 2h
Isolando m, temos
m = 2h - 2n = 2,(h-n)
Como h-ninZ, conclui-se que m é par.

Passo 4

Mostramos as duas implicações:
  1. Se m é par, então m+2n é par.
  2. Se m+2n é par, então m é par.
Portanto, m é par se, e somente se, m+2n é par.

Resposta

m é par iff m+2n é par.

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