Prove que o produto de cinco inteiros consecutivos é múltiplo de 120.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, o produto
é múltiplo de
. Como
vamos verificar separadamente a divisibilidade por
, por
e por
.
Passo 2
Dentre cinco inteiros consecutivos
os resíduos módulo
são exatamente
, em alguma ordem. Logo há um termo múltiplo de
, isto é
Passo 3
Dentre quaisquer três inteiros consecutivos existe sempre um múltiplo de
. Como aqui temos cinco consecutivos, certamente ao menos um deles é divisível por
. Portanto
Passo 4
Agora a potência de
. Em cinco inteiros consecutivos surgem pelo menos dois pares.
Se houver três pares, cada um fornece ao menos um fator , somando pelo menos
.
Se houver exatamente dois pares, eles são da forma e
; como
ou
é par, um desses números é múltiplo de
, fornecendo dois fatores
, e o outro fornece mais um, totalizando novamente
.
Em ambos os casos temos
Se houver três pares, cada um fornece ao menos um fator
Se houver exatamente dois pares, eles são da forma
Em ambos os casos temos
Passo 5
Combinando as três partes, concluímos que
divide o produto
Resposta
O produto de cinco inteiros consecutivos é sempre divisível por
.