Prove que o produto de cinco inteiros consecutivos é múltiplo de 120.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n, o produto
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
é múltiplo de 120. Como
120 = 2^3 cdot 3 cdot 5,
vamos verificar separadamente a divisibilidade por 2^3, por 3 e por 5.

Passo 2

Dentre cinco inteiros consecutivos n,n+1,n+2,n+3,n+4 os resíduos módulo 5 são exatamente 0,1,2,3,4, em alguma ordem. Logo há um termo múltiplo de 5, isto é
5 mid n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

Passo 3

Dentre quaisquer três inteiros consecutivos existe sempre um múltiplo de 3. Como aqui temos cinco consecutivos, certamente ao menos um deles é divisível por 3. Portanto
3 mid n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

Passo 4

Agora a potência de 2. Em cinco inteiros consecutivos surgem pelo menos dois pares.
Se houver três pares, cada um fornece ao menos um fator 2, somando pelo menos 2^3.
Se houver exatamente dois pares, eles são da forma 2k e 2k+2; como k ou k+1 é par, um desses números é múltiplo de 4, fornecendo dois fatores 2, e o outro fornece mais um, totalizando novamente 2^3.
Em ambos os casos temos
2^3 mid n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

Passo 5

Combinando as três partes, concluímos que
2^3 cdot 3 cdot 5 = 120
divide o produto
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

Resposta

O produto de cinco inteiros consecutivos é sempre divisível por 120.

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