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Mostre que (1,1) não é ponto de extremo global da função f(x, y)= 2(x^2+y^2) e^-x^2-y^2 definida em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o ponto (1,1) não é um extremo global de
f(x,y)=2l(x^2+y^2r)e^-x^2-y^2, (x,y)inR^2
Lembrando que um ponto (x0,y0) é extremo global (máximo ou mínimo) se, para todo (x,y), vale
  • máximo global: ;f(x0,y0)>= f(x,y),
  • mínimo global: ;f(x0,y0)<= f(x,y).

Passo 2

Calculemos o valor de f em (1,1):
f(1,1) =2l(1^2+1^2r)e^-1^2-1^2 =2cdot2,e^-2 =4e^-2

Passo 3

Escolhemos um outro ponto, por exemplo (1,0), e calculamos
f(1,0) =2l(1^2+0^2r)e^-1^2-0^2 =2cdot1,e^-1 =2e^-1
Para comparar, note que
f(1,0)f(1,1) =2e^-14e^-2 =24,e^1 =tfrac12,e>1,
logo f(1,0)>f(1,1).

Passo 4

Vimos que existe (1,0) tal que f(1,0)>f(1,1), portanto (1,1) não pode ser máximo global.
Além disso, como f(x,y)>=0 para todo (x,y) e f(1,1)=4e^-2>0=f(0,0), também (1,1) não é mínimo global.

Resposta

O ponto (1,1) não é extremo global de f.

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