(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^2 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=2 & 44 & 8
e pede: (a) verificar simetria; (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2); (c) classificar Q via método de Lagrange (completar quadrados); (d) calcular todos os menores principais de A; (e) calcular os menores líderes (leading principal minors); (f) classificar Q via menores principais; (g) achar pontos p,q tais que Q(p)>0 e Q(q)<0. Para resolver usamos conceitos de matrizes simétricas, forma quadrática, completamento de quadrados e teoria de menores principais.
Passo 2
(a) Uma matriz é simétrica se A^T=A. Aqui
A^T=2 & 44 & 8=A,
logo A é simétrica porque o elemento fora da diagonal principal na posição (1,2) é igual ao da posição (2,1).
Passo 3
(b) A forma quadrática associada a é
Passo 4
(c) Para classificar pela regra de Lagrange completamos quadrados. Escrevemos
Q=2l(h1^2+4h1h2+4h2^2r) =2l(h1+2h2r)^2
Como 2>0 e (h1+2h2)^2>=0 para todo (h1,h2), Q é positiva semidefinida (há direções não nulas em que Q=0).
Passo 5
(d) Os menores principais são os determinantes das submatrizes obtidas selecionando índices iguais em linhas e colunas. Temos de ordem 1:
M11=detl[2r]=2, M22=detl[8r]=8,
e de ordem 2 (a própria matriz):
det A=2cdot8-4cdot4=16-16=0
Passo 6
(e) Os menores principais líderes (leading principal minors) usam os primeiros índices 1,1,2:
D1=2, D2=det A=0
Passo 7
(f) Pela condição dos menores líderes, Q seria positiva definida se D1>0 e D2>0. Aqui D1=2>0 mas D2=0, então não é definida estritamente. Como D1>0 e D2=0, concluímos novamente que Q é positiva semidefinida.
Passo 8
(g) Para forma positiva semidefinida só existem valores não negativos, ou seja, Q(p)>=0 para todo p. Então podemos escolher, por exemplo,
p=(1,0), Q(p)=2>0,
mas não existe q tal que Q(q)<0, pois Q nunca assume valores negativos.
Resposta
(a) Sim, pois A^T=A.
(b) Q(h1,h2)=2h1^2+8h1h2+8h2^2
(c) Positiva semidefinida.
(d) Menores principais de ordem 1: 2 e 8; de ordem 2: 0.
(e) Menores líderes: D1=2, D2=0.
(f) Positiva semidefinida.
(g) Por exemplo, p=(1,0) dá Q(p)=2>0; não existe q com Q(q)<0.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 19