[21] Considere a matriz
A=[rrr -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 ]
(a) A matriz A é simétrica? Justifique sua resposta.
(b) Escreva explicitamente a forma quadrática Q=Q(h1, h2, h3) associada à matriz A.
(c) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando o método de Lagrange.
(d) Calcule todos os menores principais de A.
(e) Calcule todos os menores principais líderes de A.
(f) Classifique a forma quadrática (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida) usando os menores principais de A.
(g) Encontre, caso existam, pontos p e q em R^3 tais que Q(p)>0 e Q(q)<0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2
e pede: (a) verificar se A é simétrica; (b) escrever a forma quadrática Q(h1,h2,h3)= [h1,h2,h3],A,[h1,h2,h3]^T; (c) classificar essa forma por Lagrange; (d) calcular todos os menores principais de A; (e) calcular os menores principais líderes (leading principal minors); (f) classificar de novo usando esses menores; (g) mostrar vetores p, q com Q( p)>0 e Q( q)<0, se existirem.

Passo 2

(a) Uma matriz é simétrica se A^T=A. Aqui
A^T= -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 =A,
logo A é simétrica.

Passo 3

(b) A forma quadrática é

Passo 4

(c) Pelo método de Lagrange completamos quadrados:
Q=-(h1^2-2h1h2+h2^2)-2,h3^2 =-(h1-h2)^2-2,h3^2
Como (h1-h2)^2>=0 e h3^2>=0, temos Q<=0 sempre, e há vetores não nulos com Q=0 (basta h1=h2,,h3=0). Logo Q é negativa semidefinida.

Passo 5

(d) Os menores principais (determinantes de submatrizes obtidas pelas mesmas linhas e colunas) são:
– ordem 1:
De<a1^(1)=a11=-1,;De<a1^(2)=a22=-1,;De<a1^(3)=a33=-2
– ordem 2:
De<a2^1,2=det-1&11&-1=1-1=0,
De<a2^1,3=det-1&00&-2=2,
De<a2^2,3=det-1&00&-2=2
– ordem 3:
De<a3=det A=0 (porque o bloco 2times2 no topo tem det 0).

Passo 6

(e) Os menores principais líderes (leading principal minors) são:
De<a1=-1,;De<a2=det-1&11&-1=0,;De<a3=det A=0

Passo 7

(f) Para forma negativa semidefinida precisamos que (-1)^kDe<ak>=0 para k=1,2,3. Aqui
(-1)^1De<a1=1>=0,;(-1)^2De<a2=0>=0,;(-1)^3De<a3=0>=0.
Portanto confirma-se que Q é negativa semidefinida.

Passo 8

(g) Como vimos em (c), Q<=0 sempre, então não existe p com Q( p)>0. Por outro lado, basta escolher q que não esteja no núcleo h1=h2,h3=0, por exemplo
q=(1,0,0), onde
Q(1,0,0)=-1<0

Resposta

(a) Sim, pois A^T=A.
(b) Q(h1,h2,h3)=-h1^2+2h1h2-h2^2-2h3^2
(c) Q é negativa semidefinida.
(d) Menores principais de ordem 1: -1,-1,-2; de ordem 2: 0,2,2; de ordem 3: 0.
(e) Leading principal minors: De<a1=-1, De<a2=0, De<a3=0
(f) Pela condição (-1)^kDe<ak>=0, Q é negativa semidefinida.
(g) Não há p com Q( p)>0. Exemplo de q com Q( q)<0: q=(1,0,0), pois Q(1,0,0)=-1<0.

Exercícios de Livros Relacionados